Forme indeterminate
Come sono dimostrabili le forme indeterminate? Sono convenzioni adottate osservando il comportamento delle funzioni, sono enti?
Risposte
Le forme indeterminate non sono "dimostrabili".
In poche ed imprecise parole, il termine "forma indeterminata" sta ad indicare che hai un limite di cui non puoi sapere se esiste e quanto vale solo applicando i teoremi sui limiti di somme, quozienti, etc.
Potremmo dire che è una convenzione linguistica.
Provo a spiegarmi con l'esempio più classico.
Cosa vuol dire che $0/0$ è una forma indeterminata?
Vuol dire che, se devi fare il $\lim_{x to x_0} (f(x))/(g(x))$ e sai solo che:
$\lim_{x to x_0} f(x)= 0$
$\lim_{x to x_0} g(x)= 0$
non puoi utilizzare il teorema sul limite del quoziente per poter dire se il limite proposto esiste (e, in caso affermativo, quanto valga)
Normalmente è possibile dare una risposta al problema dato usando altri metodi: facendo calcoli espliciti, raccogliendo fattori a numeratore e denominatore, srazionalizzando, usando l'Hopital...
Esempio banale:
Vuol dire che, se devi fare il $\lim_{x to 3} (x^3 - 1)/(x-3)$, sai che:
$\lim_{x to 3} x^3 -27= 0$
$\lim_{x to 3} x-3 = 0$
Quindi hai una forma indeterminata, ma ci vuole poco a scoprire cosa faccia:
$\lim_{x to 3} (x^3 - 1)/(x-3) = \lim_{x to 3} (x-3)(x^2 + 3x + 9)/(x-3) = \lim_{x to 3} x^2 + 3x + 9$
In poche ed imprecise parole, il termine "forma indeterminata" sta ad indicare che hai un limite di cui non puoi sapere se esiste e quanto vale solo applicando i teoremi sui limiti di somme, quozienti, etc.
Potremmo dire che è una convenzione linguistica.
Provo a spiegarmi con l'esempio più classico.
Cosa vuol dire che $0/0$ è una forma indeterminata?
Vuol dire che, se devi fare il $\lim_{x to x_0} (f(x))/(g(x))$ e sai solo che:
$\lim_{x to x_0} f(x)= 0$
$\lim_{x to x_0} g(x)= 0$
non puoi utilizzare il teorema sul limite del quoziente per poter dire se il limite proposto esiste (e, in caso affermativo, quanto valga)
Normalmente è possibile dare una risposta al problema dato usando altri metodi: facendo calcoli espliciti, raccogliendo fattori a numeratore e denominatore, srazionalizzando, usando l'Hopital...
Esempio banale:
Vuol dire che, se devi fare il $\lim_{x to 3} (x^3 - 1)/(x-3)$, sai che:
$\lim_{x to 3} x^3 -27= 0$
$\lim_{x to 3} x-3 = 0$
Quindi hai una forma indeterminata, ma ci vuole poco a scoprire cosa faccia:
$\lim_{x to 3} (x^3 - 1)/(x-3) = \lim_{x to 3} (x-3)(x^2 + 3x + 9)/(x-3) = \lim_{x to 3} x^2 + 3x + 9$
Questa storia delle forme indeterminate rimane per me un problema che continuo a non capire. Faccio un esempio numerico: nel campo dei numeri naturali: $5X2=10, 10/2=5$ Ma $0X0=0, 0/0=?$ Quindi lo zero ha un diverso comportamento con gli operatori aritmetici. Addizione,sottrazione e moltiplicazione hanno un comportamento. In base a quale criterio nella divisione il risultato è indeterminato? E le relazioni del tipo $a/oo, a/0$ nell'operazione di limite? So dei loro valori solo osservando i comportamenti delle funzioni
solo una precisazione, ma importante
quando si dice che $0/0$ è una forma indeterminata, non ci si riferisce al quoziente fra due numeri
dividere un numero per zero è semplicemente impossibile
provo a ridire le cose in modo diverso
dire che $0/0$ è una forma indeterminata vuol dire la cosa seguente:
"non possiamo dire nulla su $\lim_{x to x_0} (f(x))/(g(x))$ se sappiamo solo che:
$\lim_{x to x_0} f(x)= 0$
$\lim_{x to x_0} g(x)= 0$"
quando si dice che $0/0$ è una forma indeterminata, non ci si riferisce al quoziente fra due numeri
dividere un numero per zero è semplicemente impossibile
provo a ridire le cose in modo diverso
dire che $0/0$ è una forma indeterminata vuol dire la cosa seguente:
"non possiamo dire nulla su $\lim_{x to x_0} (f(x))/(g(x))$ se sappiamo solo che:
$\lim_{x to x_0} f(x)= 0$
$\lim_{x to x_0} g(x)= 0$"
Ok, ho compreso. Facevo confusione tra la forma indeterminata ed il quoziene 0/0, è stata una precisazione importante.
Sulle forme indeterminate hai dissipato ogni mio dubbio.
Sulle forme indeterminate hai dissipato ogni mio dubbio.
wow!
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