Forme indeterminate

[sifusi]

Potreste darmi una giustificazione del motivo per il quale le forme
zeroxinfinito, infinito meno infinito ecc... sono indeterminate?

[Mephlip]

"Forma indeterminata" significa semplicemente che non si può dedurre il risultato del limite dai risultati dei singoli limiti coinvolti nelle operazioni. Ad esempio:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x^2+1}$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+1}{x^2+1}$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3+1}{x^2+1}$$
Sono tutte forme del tipo \(+\infty/+\infty\), ma i risultati sono rispettivamente \(0\), \(1\), e \(+\infty\). Invece, nel caso di un rapporto in cui il numeratore e il denominatore tendono rispettivamente a \(l \in \mathbb{R}\) e a \(m\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\), puoi dedurre che il rapporto tende a \(l/m\).

[ncant04]

Inoltre, per i limiti proposti da @Mephlip è sufficiente rifarsi della gerarchia degli infiniti, ossia le potenze "corrono" all'infinito sempre più velocemente al crescere del grado. Ad esempio, nel caso di
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{x^2 + 1}
\]
questo tende a 0 in quanto il denominatore si ingigantisce più velocemente rispetto al numeratore.
Poi l'effettivo metodo utile per risolvere una forma indeterminata dipende da quello che hai da analizzare. I metodi a disposizione sono molteplici: trasformazioni elementari dell'espressione del limite, la regola di de l'Hôpital (forme $ o / 0 $ o $ \infty / \infty $ oppure Taylor...