Forme differenziali su varietà

qwertyuio1
Ho una p varietà M di R^n che si spiana su R^p con la carta F. Ho una k-forma differenziale w su R^p.
E' vero che il pull-back di w tramite F è una k-forma sulla varietà M? (cioé è una forma che agisce solo sulle componenti tangenti ad M dei k-vettori)
Mi è stato detto a lezione che è vero, ma non riesco proprio a dimostrarlo. Potete darmi una mano?
Grazie!

Risposte
qwertyuio1
Per favore ne ho bisogno per andare avanti a studiare e non riesco a venirne a capo!

miuemia
lo puoi vedere semplicemente applicando la definizione di pull-back!
la tua situazionie è la seguente
$F:M\rightarrow RR^{p}$ e $w$ è una $k$-forma su $RR^{p}$ ovviamente $k<=p$ adesso tu ti chiedi se $\bar F(w)$ è una $k$-forma su M.
ma per definizione di pull-back hai che

$\bar F:\Omega^{k}(RR^{p})\rightarrow\Omega^{k}(M)$ definita come $\bar F(w)=w\circ F$

qwertyuio1
Ma la definizione che ho io è: $<> = << w\circ F|"d"F(v_1)\wedge \ldots \wedge "d"F(v_k) >>$ per ogni $v_1,...,v_k\in R^n$ (abbiamo definito il pull-back solo per funzioni definite tra aperti di R^n, quindi volendo essere precisi ho bisogno di considerare la carta $F:O\rightarrow R^n$ con O aperto contentente M, che spiana M su un sottospazio di R^n di dimensiome p).
Per dire che F*(w) è una forma su M, devo dire che agisce solo sule componenti tangenti ad M: cioé se due $v_1,...,v_k$ e $v'_1,...,v'_k$ hanno rispetivamente le stesse componenti tangenti a M allora devo far vedere che $<>=<>$

gugo82
@qwertyuio: Ho aggiustato la prima formula del post precedente; potresti fare lo stesso con le altre? (Visto che dopo 54 post dovresti aver acquisito già parecchia familiarità con il MathML...)
Grazie.

qwertyuio1
Grazie! In effetti ora è più carino... :D

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