Forme differenziali su insiemi non connessi
Salve a tutti, sto incontrando qualche difficoltà nello studio di forme differenziali, in particolare sulle condizioni di esattezza di una forma differenziale definita su un insieme non semplicemente connesso.
Mi è chiaro, per esempio, che l'insieme $RR$^2 \ {(0;0)} non è semplicemente connesso, dunque non si può verificare immediatamente che una forma differenziale $\omega$ sia esatta in questo insieme (nonostante sia chiusa).
Quindi volevo chiedervi, una volta verificata la chiusura, come si procede per verificarne l'esattezza?
E' sufficiente considerare una curva arbitraria $\gamma$ (per esempio una circonferenza di raggio 1, centrata nell'origine) lungo cui l'integrale curvilineo viene 0 ?
Grazie
Mi è chiaro, per esempio, che l'insieme $RR$^2 \ {(0;0)} non è semplicemente connesso, dunque non si può verificare immediatamente che una forma differenziale $\omega$ sia esatta in questo insieme (nonostante sia chiusa).
Quindi volevo chiedervi, una volta verificata la chiusura, come si procede per verificarne l'esattezza?
E' sufficiente considerare una curva arbitraria $\gamma$ (per esempio una circonferenza di raggio 1, centrata nell'origine) lungo cui l'integrale curvilineo viene 0 ?
Grazie
Risposte
c'è un teorema che dimostra che, avendo una funzione $\mathbf{F}\in C^1(\Omega)$ in $\Omega$ aperto connesso (o stellato), le seguenti affermazioni sono equivalenti:
1) $\oint_{\gamma}\omega=0$
2) $\int_{\gamma_{1}}\omega=\int_{\gamma_{2}}\omega$ con $\gamma_1$ e $\gamma_2$ definite tra gli stessi punti $a$ e $b$
3) $\mathbf{F}$ è conservativo
Ciò significa che, per dimostrare che il campo sia conservativo (o che la forma sia esatta), basta che sia soddisfatta una delle condizioni 1) , 2)
1) $\oint_{\gamma}\omega=0$
2) $\int_{\gamma_{1}}\omega=\int_{\gamma_{2}}\omega$ con $\gamma_1$ e $\gamma_2$ definite tra gli stessi punti $a$ e $b$
3) $\mathbf{F}$ è conservativo
Ciò significa che, per dimostrare che il campo sia conservativo (o che la forma sia esatta), basta che sia soddisfatta una delle condizioni 1) , 2)
"davidedl92":
Quindi volevo chiedervi, una volta verificata la chiusura, come si procede per verificarne l'esattezza?
E' sufficiente considerare una curva arbitraria $\gamma$ (per esempio una circonferenza di raggio 1, centrata nell'origine) lungo cui l'integrale curvilineo viene 0 ?
Grazie
l'integrale è invariante su curve $Omega$-omotope, quindi puoi considerare quella più comoda, ovviamente deve essere una curva che racchiude il "buco" del dominio. Nel tuo caso va benissimo come hai detto.
Dunque per dimostrare che è esatta mi basta trovare una qualsiasi curva lungo la quale l'integrale viene 0..
Ma se non ne dovessi trovare una, posso concludere che non è esatta oppure si applicano altri metodi?
Ma se non ne dovessi trovare una, posso concludere che non è esatta oppure si applicano altri metodi?
beh se non c'è nessuna curva che rispetta quelle condizioni allora vuol dire che il campo non è conservativo (la forma non è esatta)
"robe92":
beh se non c'è nessuna curva che rispetta quelle condizioni allora vuol dire che il campo non è conservativo (la forma non è esatta)
Secondo me è sbagliata come conclusione!
Il fatto di trovare una curva chiusa tale che l'integrale di $\omega$ lungo essa si annulli è un qualcosa che dipende da chi sta svolgendo l'esercizio; il non trovarla infatti è un "problema" dello studente, ma non implica necessariamente che il campo non sia conservativo. Infatti la proposizione che vogliamo utilizzare è solo una condizione necessaria, non è sufficiente.
"Lorin":
[quote="robe92"]beh se non c'è nessuna curva che rispetta quelle condizioni allora vuol dire che il campo non è conservativo (la forma non è esatta)
Secondo me è sbagliata come conclusione!
Il fatto di trovare una curva chiusa tale che l'integrale di $\omega$ lungo essa si annulli è un qualcosa che dipende da chi sta svolgendo l'esercizio; il non trovarla infatti è un "problema" dello studente, ma non implica necessariamente che il campo non sia conservativo. Infatti la proposizione che vogliamo utilizzare è solo una condizione necessaria, non è sufficiente.[/quote]
non è sbagliata perché qui non si tratta di filosofia, ovvero "se riesco a trovare una curva chiusa che fa al caso mio", bensì basta che ci sia anche solo una sola curva chiusa semplice $\gamma \subset \Omega$ tale che $\oint_\gamma \mathbf{F}\cdot \text{d} \mathbf{r}\ne0$, per poter dichiarare che il campo $\mathbf{F}$ non sia conservativo. È un teorema, non sono miei "voli pindarici"
EDIT: basti pensare allo studio della Fisica per quanto riguarda i lavori in campi conservativi e non
Riporto le tue parole:
(1)
Rivedendo con i miei occhi ciò che tu scrivi, io capisco: Se non trovi nessuna curva chiusa tale che l'integrale esteso ad essa della forma differenziale si annulla allora la forma non è conservativa.
Questo rimane ancora sbagliato per me (le motivazioni le trovi nel post precedente). Tra l'altro volendo essere pignoli quello che tu scrivi nell'ultimo post:
(2)
è totalmente diverso da quello che hai detto in (1)
Perchè una cosa è non riuscire a trovare una curva che verifichi certe proprietà, un'altra cosa è invece trovare una curva tale che il suo integrale sia diverso da zero.
E chiamiamola pure filosofia
(1)
"robe92":
beh se non c'è nessuna curva che rispetta quelle condizioni allora vuol dire che il campo non è conservativo (la forma non è esatta)
Rivedendo con i miei occhi ciò che tu scrivi, io capisco: Se non trovi nessuna curva chiusa tale che l'integrale esteso ad essa della forma differenziale si annulla allora la forma non è conservativa.
Questo rimane ancora sbagliato per me (le motivazioni le trovi nel post precedente). Tra l'altro volendo essere pignoli quello che tu scrivi nell'ultimo post:
(2)
bensì basta che ci sia anche solo una sola curva chiusa semplice....etc...
è totalmente diverso da quello che hai detto in (1)
Perchè una cosa è non riuscire a trovare una curva che verifichi certe proprietà, un'altra cosa è invece trovare una curva tale che il suo integrale sia diverso da zero.
E chiamiamola pure filosofia
sì hai ragione, mi sono espresso male io in effetti (dannato italiano ).. volevo intendere ciò che ho detto nella (2)
).. volevo intendere ciò che ho detto nella (2)
Si lo avevo capito!
Ho insistito più che altro per l'utente che ha aperto il topic, altrimenti entrava ancora più in confusione.
Ho insistito più che altro per l'utente che ha aperto il topic, altrimenti entrava ancora più in confusione.
Altra domanda: ora ho una forma differenziale il cui dominio è $$R^2$$ esclusa la frontiera di una circonferenza $x^2$+ $y^2$ = 1.. come verifico se la forma è esatta?
Penso si debba dividere il dominio in 2 insiemi, uno semplicemente connesso (interno alla circonferenza) e un altro non semplicemente connesso (l'esterno della circonferenza).
In quello semplicemente connesso verifico se la forma è esatta. Poi come procedo?
Penso si debba dividere il dominio in 2 insiemi, uno semplicemente connesso (interno alla circonferenza) e un altro non semplicemente connesso (l'esterno della circonferenza).
In quello semplicemente connesso verifico se la forma è esatta. Poi come procedo?
Up
Presumo tu abbia già verificato che la forma è chiusa.
Il resto è sempre la stessa cosa: nella regione esterna, che non è semplicemente connessa, puoi prendere una curva che avvolge il buco e calcolare la circuitazione. Se questa circuitazione si annulla allora la forma è esatta. Altrimenti non è esatta. Riferimento:
post444685.html#p444685
Il resto è sempre la stessa cosa: nella regione esterna, che non è semplicemente connessa, puoi prendere una curva che avvolge il buco e calcolare la circuitazione. Se questa circuitazione si annulla allora la forma è esatta. Altrimenti non è esatta. Riferimento:
post444685.html#p444685
scusate ma leggndo non ho capito perchè basta trovarne una chiusa su cui l'integrale si annulli per dire che è esatta , infatti il teorema dice che se su tutte le curve chiuse l'integrale si annulla allora la forma è esatta.
Questo è spiegato nel link del mio ultimo post. In certi casi (forma differenziale chiusa, dominio connesso con un solo buco) basta verificare che si annulli una circuitazione che avvolge il buco per concludere che tutte le circuitazioni si annullano e dunque che la forma differenziale è esatta.
okok grazie aspettero di studiarlo in analisi complessa 
Puoi anche studiarti la versione reale, per forme differenziali. Una dimostrazione c'è sul Lang, Undergraduate analysis.
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