Forme differenziali radiali
Ciao a tutti 
qualcuno potrebbe spiegarmi che corrispondenza c'è tra i campi centrali e le forme differenziali radiali? 
qualcuno potrebbe spiegarmi che corrispondenza c'è tra i campi centrali e le forme differenziali radiali?
Risposte
Sostanzialmente sono la stessa cosa. Mi spiego meglio: ogni volta che tu hai un campo $F=(a,b,c)$ puoi associarlo ad una 1-forma differenziale $\omega=a\ dx+b\ dy+c\ dz$ e viceversa. La radialità della forma (dipendenza solo dal "raggio" distanza da un punto fissato, ad esempio l'origine) equivale alla centralità del campo.
okok ho capito grazie..e scusami potresti spiegarmi cos'è in generale una forma differenziale radiale e come si calcola una sua primitiva?
Allora, in generale una forma differenziale radiale è qualcosa che si può mettere sotto la forma seguente
$$\omega=a(\rho)\ d\rho$$
essendo $\rho$ il "raggio" vettore che parte dall'origine (da cui la dipendenza che dicevo prima). Se sei nel piano, allora $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ da cui
$$d\rho=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}(2x\ dx+2y\ dy)$$
e quindi l'espressione cartesiana di una forma radiale è
$$\omega=\frac{a(\sqrt{x^2+y^2})\cdot x}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dx+\frac{a(\sqrt{x^2+y^2})\cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dy$$
Puoi dimostrare (effettuando le derivate miste) che ogni tale forma è sempre chiusa per cui, essendo definita su un cerchio, è pure esatta. (Le derivate miste assumono la forma
$$\frac{xy}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}\cdot\left[a'(\sqrt{x^2+y^2})\cdot\sqrt{x^2+y^2}-a(\sqrt{x^2+y^2})\right]$$
come puoi calcolare). Questo ti permette di dire che per calcolare una primitiva $f(\sqrt{x^2+y^2})$ basta eseguire il seguente calcolo: dal momento che deve essere
$$f_x=\frac{x f'(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{a(\sqrt{x^2+y^2})\cdot x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad f_y=\frac{y f'(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{a(\sqrt{x^2+y^2})\cdot x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
allora deve essere $f'(\sqrt{x^2+y^2})=a(\sqrt{x^2+y^2})$. Ritornando allora alla variabile $\rho$ la primitiva si ottiene integrando al modo seguente
$$f(\rho)=\int a(\rho)\ d\rho+c$$
$$\omega=a(\rho)\ d\rho$$
essendo $\rho$ il "raggio" vettore che parte dall'origine (da cui la dipendenza che dicevo prima). Se sei nel piano, allora $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$ da cui
$$d\rho=\frac{1}{2\sqrt{x^2+y^2}}(2x\ dx+2y\ dy)$$
e quindi l'espressione cartesiana di una forma radiale è
$$\omega=\frac{a(\sqrt{x^2+y^2})\cdot x}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dx+\frac{a(\sqrt{x^2+y^2})\cdot y}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dy$$
Puoi dimostrare (effettuando le derivate miste) che ogni tale forma è sempre chiusa per cui, essendo definita su un cerchio, è pure esatta. (Le derivate miste assumono la forma
$$\frac{xy}{\sqrt{(x^2+y^2)^3}}\cdot\left[a'(\sqrt{x^2+y^2})\cdot\sqrt{x^2+y^2}-a(\sqrt{x^2+y^2})\right]$$
come puoi calcolare). Questo ti permette di dire che per calcolare una primitiva $f(\sqrt{x^2+y^2})$ basta eseguire il seguente calcolo: dal momento che deve essere
$$f_x=\frac{x f'(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{a(\sqrt{x^2+y^2})\cdot x}{\sqrt{x^2+y^2}},\qquad f_y=\frac{y f'(\sqrt{x^2+y^2})}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{a(\sqrt{x^2+y^2})\cdot x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
allora deve essere $f'(\sqrt{x^2+y^2})=a(\sqrt{x^2+y^2})$. Ritornando allora alla variabile $\rho$ la primitiva si ottiene integrando al modo seguente
$$f(\rho)=\int a(\rho)\ d\rho+c$$
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