Forme differenziali lineri esatte e chiuse.

[qwerty901]

Salve!
Avrei una domanda teorica sulle forme differenziali.
Se ho capito bene dal libro:

$omega = M*dx + N*dy$

Se : $frac{partialM}{partialy} = frac{partialN}{partialx}$ allora $omega$ è chiusa.

Se :
1) $omega$ è omogenea di grado $alpha!=-1$
2) il campo è semplicemente connesso
3) $int_(gamma) omega = 0
dove $gamma$ è una curva generalmente regolare

Allora $omega$ è esatta, quindi chiusa.

Ho sbagliato qualcosa? Dimentico qualcosa?

Le condizioni 1), 2),3) devono valere contemporaneamente giusto?

Grazie

[dissonance]

E' chiaro che le condizioni 1,2,3 devono valere contemporaneamente, prova tu a fabbricare un esempio di f.d.l. omogenea e non esatta (è facile, basta farla non chiusa). Comunque non ho mai sentito questo teorema. In sostanza, credo ti dica che se la f.d.l. è omogenea in un dominio semplicemente connesso, per verificare se è esatta basta prendere una sola circuitazione. All'atto pratico non te ne fai molto, probabilmente l'autore lo usa come lemma per qualche costruzione che ha in serbo nel seguito.

[qwerty901]

"dissonance":Comunque non ho mai sentito questo teorema.

Quale teorema? Il punto 1) ?

Ad antani: si, pensiamo la stessa cosa.

Un'altra domanda: Curva generalmente regolare.

Cercando con google ho trovato questo post di matematicamente.it
https://www.matematicamente.it/forum/def ... 59313.html

Ma matematici....perdonatemi ma il matematichese non fa per me
Anche se lo capisco (leggendolo diverse volte) me lo dimenticherei tra 5 minuti. Quindi vorrei capire il concetto pratico.

Curva generalmente regolare:
Un qualsiasi luogo geometrico nello spazio è dato dalle tre equazioni:
$x= x(t)$, $y=y(t)$, $z= z(t)$
definite in un intervallo $[a,b]$.
Se supponiamo di poter dividere l'intervallo $[a,b]$ in tanti intervalli mediante i punti:
$a=t_0 così che al variare di $t$ abbiamo una curva semplice e regolare, cioè:
- le funzioni $x(t),y(t),z(t)$ sono derivabili in tutto l'intervallo $[a,b]$ e le loro derivate sono ivi continue
- le tre derivate $x'(t),y'(t),z'(t)$ non sono mai simultaneamente nulle
- non può accadere contemporaneamente che per $t'!=t''$, sono soddisfatte le relazioni:
$x'(t) = x(t''), y'(t) = y(t''),z'(t) = z(t'')$

Quindi la curva è generalmente regolare.Esatto?

[dissonance]

1, 2, 3 sono le ipotesi e " $omega$ è esatta" è la tesi di un teorema. Così ho capito io, dal tuo post non si capisce bene però. Prova a riportare l'enunciato esatto dal libro. E per la curva generalmente regolare hai ragione, si tratta di una curva che si può suddividere in un numero finito di curve regolari. Essenzialmente è una curva che ha anche qualche punto angoloso, come per esempio la traiettoria di una biglia su un tavolo da biliardo. E' importante però che la biglia non si fermi mai.

[qwerty901]

"dissonance":1, 2, 3 sono le ipotesi e " $omega$ è esatta" è la tesi di un teorema. Così ho capito io, dal tuo post non si capisce bene però. Prova a riportare l'enunciato esatto dal libro.

Quel teorema l'ho composto io tra appunti ed eserciziari. Sui libri non c'è qualche teorema che li unifica.

"dissonance": E per la curva generalmente regolare hai ragione, si tratta di una curva che si può suddividere in un numero finito di curve regolari. Essenzialmente è una curva che ha anche qualche punto angoloso, come per esempio la traiettoria di una biglia su un tavolo da biliardo. E' importante però che la biglia non si fermi mai.

ok. chiaro

[antani2]

Uhm cavolo devo aver fatto qualche casino e cancellato il post, cos'avevo scritto??

[antani2]

Ah sì comunque secondo me non è vero che devon valere contemporaneamente, perchè comunque la 2) implica la 3), dal momento che se una 1-forma è irrotazionale (ovvero se il differenziale esterno è 0) su un dominio semplicemente connesso è esatta, mentre la 3) unita all'irrotazionalità implica l'esattezza solo se l'integrale è su una curva che non può esser bordo di alcuna superficie inclusa nel dominio.
Quindi secondo me ha ragione dissonance, il teorema è detto male così.

[qwerty901]

"antani": irrotazionale (ovvero se il differenziale esterno è 0)

Cosa è il differenziale esterno?

[antani2]

Niente scusa, è semplicemente un altro differenziale che manda le forme differenziali lineari $f_idx_i$ in forme differenziali quadratiche, in pratica il differenziale esterno in$R^3 $ $domega=d(f_i dx_i)= sum_(i=1)^3 sum_(j=1)^3 (partial f_i)/(partial x_i) dx_i dx_j epsilon_(ijk) $ ovvero il rotore, e si annulla quando le derivate incrociate sono nulle (irrotazionalità).

[dissonance]

Si antani però 2) implica 3) solamente quando la f.d.l. è chiusa. Qwerty questo non lo ha messo nelle ipotesi.

@qwerty: Fai una cosa, lascia perdere questa proposizione, vai avanti con la teoria. Qualche tempo fa ho scritto un post che forse ti può servire:
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#444685

[antani2]

sì infatti ma anche che la 1-forma è chiusa è un'ipotesi, lo dice all'inizio, prima ancora del punto 1

[qwerty901]

Ok ti ringrazio