Forme Differenziali in R^2
Sia $w=cos(8x)ln(1+4y^2)dx+sin(8x)(lambda*y)/(1+4y^2)dy$ (dove $lambda in RR$) un campo vettoriale.
1)Trovare tutte le $lambda$ tali che $w$ sia conservativo (esatta) in $RR^2$
Da dove inizio?
1)Trovare tutte le $lambda$ tali che $w$ sia conservativo (esatta) in $RR^2$
Da dove inizio?
Risposte
Determinando quando è chiusa? Ma io dico, la teoria prima di mettervi a fare esercizi la studiate? Lo sai quando una forma "può" essere esatta????
Allora provo a riassumere un po quello che ho capito per ora,
per dire che la $omega$ (ovvero la forma differenziale) è esatta deve necessariamente essere chiusa.
$omega$ chiusa se le derivate parziali $(del a)/(del y)=(del b)/(del x)$
$omega$ è esatta se $EE$ $f in C^1 | omega=df$ ovvero $a(x,y)=(del f)/(del x) ^^ b(x,y)=(del f)/(del y)$
Se è tutto giusto partirei dalla condizione necessaria
per dire che la $omega$ (ovvero la forma differenziale) è esatta deve necessariamente essere chiusa.
$omega$ chiusa se le derivate parziali $(del a)/(del y)=(del b)/(del x)$
$omega$ è esatta se $EE$ $f in C^1 | omega=df$ ovvero $a(x,y)=(del f)/(del x) ^^ b(x,y)=(del f)/(del y)$
Se è tutto giusto partirei dalla condizione necessaria
$(del a)/(del y)cos(8x)ln(1+4y^2)=(8ycos(8x))/(1+4^2)$
$(del b)/(del x)sin(8x)(lambda y)/(1+4y^2)=(8ylambdacos(8x))/(1+4^2)$
con $lambda=1$
ora devo trovare una funzione in $C^1$ che se derivata per x è uguale ad a(x,y) e derivata per y è uguale a b(x,y)?
$(del b)/(del x)sin(8x)(lambda y)/(1+4y^2)=(8ylambdacos(8x))/(1+4^2)$
con $lambda=1$
ora devo trovare una funzione in $C^1$ che se derivata per x è uguale ad a(x,y) e derivata per y è uguale a b(x,y)?
Eh sì. Per farlo devi risolvere una delle due equazioni $f_x=a,\ f_y=b$, e sostituire nell'altra quello che ottieni.
non ho capito..
se integro a(x,y) per x ottengo la soluzione della prima equazione($f_x=a$) ma poi?
se integro a(x,y) per x ottengo la soluzione della prima equazione($f_x=a$) ma poi?
Se integri rispetto ad x la funzione $a(x,y) $ otterrai la $f(x,y) $ a meno di una funzione per ora ignota di $y $ , chiamiamola $g(y)$,
Avrai quindi ottenuto $f(x,y)= ****** +g(y) $
Adesso deriva questa funzione ottenuta e imponila uguale a $b(x,y) = f_y $.
Avrai quindi ottenuto $f(x,y)= ****** +g(y) $
Adesso deriva questa funzione ottenuta e imponila uguale a $b(x,y) = f_y $.
mi sto perdendo
$int(cos(8x)ln(1+4y^2))dx=(sin(8x)ln(4y^2+1))/8$
a questo punto devo derivare questa per y?
e uguagliarla a $int sin(8x)(lambday)/(1+4y^2)dy$
$int(cos(8x)ln(1+4y^2))dx=(sin(8x)ln(4y^2+1))/8$
a questo punto devo derivare questa per y?
e uguagliarla a $int sin(8x)(lambday)/(1+4y^2)dy$
Devi derivare (rispetto ad y )quella funzione che hai trovato e uguagliarla a $sin(8x) lambda y/(1+4y^2)$
$(ysin(8x))/(4y^2+1)=(lambda ysin(8x))/(4y^2+1)$ $(ysin(8x)-lambda ysin(8x))/(4y^2+1)$
$((lambda-1)ysin(8x))/(4y^2+1)$; $((lambda-1)ysin(8x))/(y(4y+1))$; $((lambda-1)sin(8x))/(4y+1)=0$ con $lambda=1$
quindi la funzione che cercavo è $(sin(8x)ln(4y^2+1))/8$
$((lambda-1)ysin(8x))/(4y^2+1)$; $((lambda-1)ysin(8x))/(y(4y+1))$; $((lambda-1)sin(8x))/(4y+1)=0$ con $lambda=1$
quindi la funzione che cercavo è $(sin(8x)ln(4y^2+1))/8$
ii)Trovare una funzione potenziale $U(x,y)$ per tale(i) $lambda$
Come?
Come?
Già ce l'hai la funzione potenziale $U(x,y) $...
Bisogna che tu ti studi un po' la teoria, altrimenti non vai da nessuna parte.
Bisogna che tu ti studi un po' la teoria, altrimenti non vai da nessuna parte.
Qui mi serve un po di aiuto, quando ci sono di mezzo vettori o campi vettoriali mi viene sempre l'orticaria.
Definito il gradiente come:
$grad=i(del)/(delx)+j(del)/(del y)$
Def: Un campo vettoriale $F:Omega sube RR^2->RR^2$ si dice conservativo in $Omega$ se$ F in C^1$ ed esiste una funzione $U:Omega->RR$, detta potenziale di F, tale che $U in C^2$ e $F=gradU$, cioè:
$F_1=(delU)/(delx),F_2=(delU)/(del y)$
Allora il campo è conservativo perché ho trovato una funzione U con derivate parziali uguali alle componenti del campo vettoriale, quindi... se non ho fatto troppo casino, la funzione è quella che ho trovato prima?
Definito il gradiente come:
$grad=i(del)/(delx)+j(del)/(del y)$
Def: Un campo vettoriale $F:Omega sube RR^2->RR^2$ si dice conservativo in $Omega$ se$ F in C^1$ ed esiste una funzione $U:Omega->RR$, detta potenziale di F, tale che $U in C^2$ e $F=gradU$, cioè:
$F_1=(delU)/(delx),F_2=(delU)/(del y)$
Allora il campo è conservativo perché ho trovato una funzione U con derivate parziali uguali alle componenti del campo vettoriale, quindi... se non ho fatto troppo casino, la funzione è quella che ho trovato prima?
Sì. Te lo ha già confermato Camillo. Un consiglio mio personale: prima studia la teoria, le formule, e vedi di comprenderle. Poi affronta gli esercizi.
Beh è quello che sto facendo, prima sono partito dalle forme differenziali, che ho visto fino alla varietà $C_2$, poi ho visto la definizione di esattezza e conservatività delle forme differenziali ed ora quella di potenziale.
Adesso sono all'ultimo punto,
iii)Calcolare per tale $lambda$, $int_gamma omega$ essendo$gamma$ una curva regolare qualsiasi che congiunge i punti ($pi/6, sqrt(2)/2$) e ($2011,0$).
Ho visto già gli integrali curvilinei di prima specie.
Sul mio libro fa un po di confusione, potreste indicarmi del materiale dove posso trovare info sugli integrali curvilinei di seconda specie?
Adesso sono all'ultimo punto,
iii)Calcolare per tale $lambda$, $int_gamma omega$ essendo$gamma$ una curva regolare qualsiasi che congiunge i punti ($pi/6, sqrt(2)/2$) e ($2011,0$).
Ho visto già gli integrali curvilinei di prima specie.
Sul mio libro fa un po di confusione, potreste indicarmi del materiale dove posso trovare info sugli integrali curvilinei di seconda specie?
"BHK":
Beh è quello che sto facendo, prima sono partito dalle forme differenziali, che ho visto fino alla varietà $C_2$, poi ho visto la definizione di esattezza e conservatività delle forme differenziali ed ora quella di potenziale.
Adesso sono all'ultimo punto,
iii)Calcolare per tale $lambda$, $int_gamma omega$ essendo$gamma$ una curva regolare qualsiasi che congiunge i punti ($pi/6, sqrt(2)/2$) e ($2011,0$).
Ho visto già gli integrali curvilinei di prima specie.
Sul mio libro fa un po di confusione, potreste indicarmi del materiale dove posso trovare info sugli integrali curvilinei di seconda specie?
E questo fa capire che la Teoria sulle forme differenziali esatte tu non l'hai neanche guardata da lontano...
Venne punito con venti frustate e rinchiuso nel livello più basso delle segrete.
"BHK":
Venne punito con venti frustate e rinchiuso nel livello più basso delle segrete.
Non credo...
Però renditi conto che chi ti risponde, a lungo andare, si secca se tu sei sempre al punto di partenza, se devi essere imboccato ad ogni nuova domanda e se non mostri un po' di riconoscenza.
[xdom="gugo82"]Inoltre, ai moderatori secca parecchio quando copi il contenuto di un post, lo cancelli, incolli il contenuto in un nuovo post e lo inoltri per "uppare" un tuo thread.
Fare questi "up occulti" sperando che nessuno se ne accorga è un puerile tentativo di infrangere il regolamento.
Uomo avvisato...[/xdom]
"BHK":
Sul mio libro fa un po di confusione [...]
Che libro è?
Ad ogni modo, se una forma è esatta, allora il suo integrale curvilineo dipende unicamente dai punti iniziale e finale del cammino d'integrazione.
Qual è il tipo di dipendenza?
Beh, apri il tuo libro di teoria e trova il teorema apposito.
"gugo82":
[quote="BHK"]Venne punito con venti frustate e rinchiuso nel livello più basso delle segrete.
Non credo...
Però renditi conto che chi ti risponde, a lungo andare, si secca se tu sei sempre al punto di partenza, se devi essere imboccato ad ogni nuova domanda e se non mostri un po' di riconoscenza.
[xdom="gugo82"]Inoltre, ai moderatori secca parecchio quando copi il contenuto di un post, lo cancelli, incolli il contenuto in un nuovo post e lo inoltri per "uppare" un tuo thread.
Fare questi "up occulti" sperando che nessuno se ne accorga è un puerile tentativo di infrangere il regolamento.
Uomo avvisato...[/xdom]
"BHK":
Sul mio libro fa un po di confusione [...]
Che libro è?
Ad ogni modo, se una forma è esatta, allora il suo integrale curvilineo dipende unicamente dai punti iniziale e finale del cammino d'integrazione.
Qual è il tipo di dipendenza?
Beh, apri il tuo libro di teoria e trova il teorema apposito.[/quote]
1)Se controlli il topic noterai che non mi è stato dato poi così tanto aiuto, nessuno mi ha fornito definizioni o ha provato a fare esempi per spiegare un argomento.
Direi che è abbastanza facile dire "guardatelo sul libro prima", senza nemmeno provare a dire in che direzione va un problema; se coloro che rispondo alle domande che postano gli utenti lo facessero solo per ottenere un po' di "riconoscenza" e non per dare semplicemente una mano, preferirei non ottenere risposta.
2)La tua lamentela di up "occulto" è totalmente fuori luogo in questo topic.
3)Se vi svegliate con la luna storta, fate una lunga passeggiata e rilassatevi oppure provate a rispondere con tono gentile o astenetevi dal rispondere.
[xdom="gugo82"]Chiudo.
Un po' di riposo ti farà comodo.[/xdom]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo