Forme differenziali in equazione fisica
Buonasera, non riesco a capire bene questa cosa.
Si consideri una trasformazione infinitesima e sia $dQ$ la quantità di calore infinitesima scambiata durante essa, sia $dT$ la variazione infinitesima di temperatura, sia $p$ la pressione del sistema che ovviamente è costante durante la trasformazione (essendo questa infinitesima) e sia $C_v$ la capacità termica a volume costante.
Si ha che vale l'equazione $dQ=C_v dT+pdV$. Fin qui tutto ok. Preciso che la pressione e la capacità termica sono funzioni di $T$ e $V$.
Ora, la scrittura $C_v dT+pdV$ è una forma differenziale, giusto? Si verifica facilmente che la forma differenziale $C_v dT+pdV$ non è esatta. Questo significa che non esiste una funzione di $V$ e $T$ che, sottoposta alle leggi della differenziazione, restituisca $C_v dT+pdV$. Questo fatto ha importanti conseguenze su quell'equazione, visto che è impossibile integrarla e risalire alla relazione finita tra le variabili.
Fisso ora l'attenzione su $dQ$. $Q$ è una variabile indipendente, e $dQ$ si può vedere come $1*dQ$, e quindi in base alla definizione di forma differenziale la scrittura $dQ$ è anch'essa una forma differenziale. E' giusto questo fatto? Cioé, se io ho una variabile indipendente, ad esempio $x$, e considero $dx$, la scrittura $dx$ può essere considerata una forma differenziale? Beh, secondo me si, ed è evidente che la funzione che differenziata dà $dx$ è proprio $x$, e quindi $dx$ è esatta. Quindi, allo stesso modo direi che la scrittura $dQ$ è una forma differenziale esatta.
I libri invece, dopo aver sostenuto giustamente che $C_v dT+pdV$ non è esatta, concludono automaticamente che $dQ$ non è esatta, come se fossero la stessa cosa. Ma a me invece sembrano due cose indipendenti! Che c'entra $dQ$ con $C_v dT+pdV$? SOno due scritture diverse e quindi due forme differenziali diverse. La prima direi che è una f.d elementare, ed è esatta perché esiste la funzione di $Q$ che è appunto $Q$ il cui differenziale è proprio $dQ$. Spero che abbiate capito il mio dubbio:)!
Si consideri una trasformazione infinitesima e sia $dQ$ la quantità di calore infinitesima scambiata durante essa, sia $dT$ la variazione infinitesima di temperatura, sia $p$ la pressione del sistema che ovviamente è costante durante la trasformazione (essendo questa infinitesima) e sia $C_v$ la capacità termica a volume costante.
Si ha che vale l'equazione $dQ=C_v dT+pdV$. Fin qui tutto ok. Preciso che la pressione e la capacità termica sono funzioni di $T$ e $V$.
Ora, la scrittura $C_v dT+pdV$ è una forma differenziale, giusto? Si verifica facilmente che la forma differenziale $C_v dT+pdV$ non è esatta. Questo significa che non esiste una funzione di $V$ e $T$ che, sottoposta alle leggi della differenziazione, restituisca $C_v dT+pdV$. Questo fatto ha importanti conseguenze su quell'equazione, visto che è impossibile integrarla e risalire alla relazione finita tra le variabili.
Fisso ora l'attenzione su $dQ$. $Q$ è una variabile indipendente, e $dQ$ si può vedere come $1*dQ$, e quindi in base alla definizione di forma differenziale la scrittura $dQ$ è anch'essa una forma differenziale. E' giusto questo fatto? Cioé, se io ho una variabile indipendente, ad esempio $x$, e considero $dx$, la scrittura $dx$ può essere considerata una forma differenziale? Beh, secondo me si, ed è evidente che la funzione che differenziata dà $dx$ è proprio $x$, e quindi $dx$ è esatta. Quindi, allo stesso modo direi che la scrittura $dQ$ è una forma differenziale esatta.
I libri invece, dopo aver sostenuto giustamente che $C_v dT+pdV$ non è esatta, concludono automaticamente che $dQ$ non è esatta, come se fossero la stessa cosa. Ma a me invece sembrano due cose indipendenti! Che c'entra $dQ$ con $C_v dT+pdV$? SOno due scritture diverse e quindi due forme differenziali diverse. La prima direi che è una f.d elementare, ed è esatta perché esiste la funzione di $Q$ che è appunto $Q$ il cui differenziale è proprio $dQ$. Spero che abbiate capito il mio dubbio:)!
Risposte
Io direi che è ambigua la scrittura \(dQ\), in quanto con questa scrittura si indica solitamente una forma differenziale esatta. Se avessi \(\omega(T,V) = C_vdT + pdV\) potresti concludere che \(\omega\) non è esatta e stop. Io a volte, a tal proposito, ho visto scrivere \(\delta Q\) in luogo di \(dQ\) appunto per indicare che non è una forma esatta. Se non ricordo male poi, per mezzo di un fattore integrante \(1/T\) si può rendere esatta la forma definendo l'entropia (ma qui vado a offuscati ricordi).
Non so però quanto si possano identificare le forme differenziali con la "pragmaticità" della termodinamica.
My two cents
Aggiungo:
http://physics.stackexchange.com/questi ... modynamics
Non so però quanto si possano identificare le forme differenziali con la "pragmaticità" della termodinamica.
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