Forme differenziali chiuse

[Ingenium1]

Buonasera a tutti.
Avrei una domanda da proporvi.
E' semplice, so per certo che esiste una risposta, ma non so quale sia.
Una forma differenziale chiusa in un semplicemente connesso è esatta.
Cosa si può dire per gli insiemi semplicemente connessi privati di un punto?

Grazie e buon appetito, vista l'ora

[Paolo902]

Non c'è una risposta univoca.

Togliere un punto dal piano cambia di molto le cose e lo spazio così ottenuto non è semplicemente connesso (il gruppo fondamentale è isomorfo a $ZZ$).

Se togli un punto da $RR^3$, invece, non cambia "nulla" (almeno a livello di $\pi_1$), perché lo spazio è ancora semplicemente connesso. Insomma, dipende.

[Ingenium1]

E' quello che sapevo, ma la mia perplessità è nata di fronte ad un esercizio.

Dato un campo vettoriale nel piano, non definito nell'origine degli assi, studiare la forma differenziale associata e calcolare eventualmente un potenziale.

Così su due piedi mi sembra di non avere mezzi per affermare che la forma è esatta, però penso al caso fisico di un filo percorso da corrente, in cui per ogni tratto infinitesimo esiste un campo nel piano, non definito al centro, di cui però esiste un potenziale. Come fare allora?