Forme differenziali
ciao, ho una forma differenziale, come faccio a verificare se è esatta?
quando mi danno una forma diff, posso senza fare nessuna verifica, calcolarmi subito la primitiva e poi una volta trovata quest'ultima verificare,applicando la definizione, se la forma è esatta?
un dubbio:ma la primitiva esiste per tutte le forme diff. o solo per quelle chiuse ed esatte?
quando mi danno una forma diff, posso senza fare nessuna verifica, calcolarmi subito la primitiva e poi una volta trovata quest'ultima verificare,applicando la definizione, se la forma è esatta?
un dubbio:ma la primitiva esiste per tutte le forme diff. o solo per quelle chiuse ed esatte?
Risposte
Allora:
se una forma diff.lin. è di classe $C^1$ (*) allora è condizione necessaria perché esistano delle primitive (cioè perché sia esatta) che sia chiusa. Prendi ad esempio $ydx+ydy$ che è $C^1$ non chiusa. Se fosse esatta, integrando rispetto ad x e derivando rispetto ad y otterresti: $f(x,y)=yx + c(y), c\inC^1(RR^2)$, $f_y(x,y)=x + c'(y)=y$ cioé $y-c'(y)=x$ ed è una contraddizione: a sx hai la dipendenza dalla sola y e a dx dalla sola x. Però ci sono forme che pur essendo chiuse non sono esatte, quindi una primitiva non esiste. Il teorema sull'argomento è questo:
una forma diff. lin. chiusa è esatta $\iff$ ogni integrale di linea chiuso (o circuitazione come preferisci) vale zero. Questo a sua volta equivale a dire che ogni integrale di linea dipende solo dagli estremi della curva su cui stai integrando.
Succede che sui sottoinsiemi semplicemente connessi ogni curva chiusa si può "deformare in maniera continua" fino a diventare un punto singolo. Questo porta a dire che la proprietà di prima (ogni circuitazione vale zero) è sicuramente vera. Perciò hai il famoso teorema:
$\omega$ è esatta $\Rightarrow$ $omega$ è chiusa e non vale il viceversa a meno che $omega$ non sia definita su un semplicemente connesso.
Nel concreto: Se riesci a trovare una primitiva di $omega$ senza queste verifiche, chiaramente puoi concludere che è esatta. Però stai attento perché è facile sbagliarsi. Nell'esempio che ho fatto prima, se non avessimo saputo a priori che la forma non era esatta, avremmo potuto non accorgerci della contraddizione e integrare rispetto ad $y$, con il catastrofico risultato $f(x,y)=1/2y^2+xy$. Se calcoli il differenziale ottieni $df(x,y)=ydx+(y+x)dy$, un errore. Ciao!
P.S : (*) Penso che sia sufficiente che $omega$ sia differenziabile.
se una forma diff.lin. è di classe $C^1$ (*) allora è condizione necessaria perché esistano delle primitive (cioè perché sia esatta) che sia chiusa. Prendi ad esempio $ydx+ydy$ che è $C^1$ non chiusa. Se fosse esatta, integrando rispetto ad x e derivando rispetto ad y otterresti: $f(x,y)=yx + c(y), c\inC^1(RR^2)$, $f_y(x,y)=x + c'(y)=y$ cioé $y-c'(y)=x$ ed è una contraddizione: a sx hai la dipendenza dalla sola y e a dx dalla sola x. Però ci sono forme che pur essendo chiuse non sono esatte, quindi una primitiva non esiste. Il teorema sull'argomento è questo:
una forma diff. lin. chiusa è esatta $\iff$ ogni integrale di linea chiuso (o circuitazione come preferisci) vale zero. Questo a sua volta equivale a dire che ogni integrale di linea dipende solo dagli estremi della curva su cui stai integrando.
Succede che sui sottoinsiemi semplicemente connessi ogni curva chiusa si può "deformare in maniera continua" fino a diventare un punto singolo. Questo porta a dire che la proprietà di prima (ogni circuitazione vale zero) è sicuramente vera. Perciò hai il famoso teorema:
$\omega$ è esatta $\Rightarrow$ $omega$ è chiusa e non vale il viceversa a meno che $omega$ non sia definita su un semplicemente connesso.
Nel concreto: Se riesci a trovare una primitiva di $omega$ senza queste verifiche, chiaramente puoi concludere che è esatta. Però stai attento perché è facile sbagliarsi. Nell'esempio che ho fatto prima, se non avessimo saputo a priori che la forma non era esatta, avremmo potuto non accorgerci della contraddizione e integrare rispetto ad $y$, con il catastrofico risultato $f(x,y)=1/2y^2+xy$. Se calcoli il differenziale ottieni $df(x,y)=ydx+(y+x)dy$, un errore. Ciao!
P.S : (*) Penso che sia sufficiente che $omega$ sia differenziabile.
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