Forme differenziali
ciao!
ho svolto il seguente esercizio,non ho la soluzione,qualcuno ha voglia di correggermi?
data la forma differenziale
$omega(x,y)=(1/x+(2xy)/(x^2-y^2)^2)dx+(1/y-(x^2+y^2)/(x^2-y^2)^2)dy$
1-dire se è chiusa nel dominio (e dire quale è);
2-dire se è esatta nell'insieme $A=[(x,y);x>0;0
allllloooooooooooooooooora:
$omega(x,y)=f_1dx+f_2dy$
con
$f_1(x,y)=1/x+(2xy)/(x^2-y^2)^2$
$f_2(x,y)=1/y-(x^2+y^2)/(x^2-y^2)^2$
$(Df_1)/(Dy)=[2x(x^2-y^2)^2-2xy (x^2-y^2)(-2y)2]/[(x^2-y^2)^4]$
$=[2x(x^2-y^2)^2+8xy^2(x^2-y^2)]/[(x^2-y^2)^4]$
$=[2x(x^2-y^2)(x^2-y^2+4y^2)]/[x^2-y^2)^4]$
$=[2x(x^2-y^2+4y^2)]/[(x^2-y^2)^3]=[2x(x^2+3y^2)]/[(x^2-y^2)^3]$
$(Df_2)/(Dx)=-[[2x(x^2-y^2)^2-(x^2+y^2)2(x^2-y^2)(2x)]/[(x^2-y^2)^4]]$
$=-[[2x(x^2-y^2)^2-4x(x^2+y^2)(x^2-y^2)]/[(x^2-y^2)^4]]$
$=-[[2x(x^2-y^2-2x^2-2y^2)]/[(x^2-y^2)^3]]=-[2x(-x^2-3y^2)/(x^2-y^2)^3]$
essendo
$(Df_1)/(Dy)=(Df_2)/(Dx)$
la forma differenziale è chiusa
ps.ed il dominio quale è?
2-essendo chiusa sarà anche esatta.
uffffaaaaaaaaaaa!!!
il potenziale sarà:
$(Df_1)/(Dx)(x,y)=f_1(x,y)=1/x+(2xy)/(x^2-y^2)^2$
$(Df_2)/(Dy)(x,y)=f_2(x,y)=1/y-(x^2+y^2)/(x^2-y^2)^2$
integro la prima:
$f(x,y)=int(1/x+(2xy)/(x^2-y^2)^2)dx=log|x|+.....$?
$int(2xy)/((x^2-y^2)^2)dx$ come si può svolgere?
ho svolto il seguente esercizio,non ho la soluzione,qualcuno ha voglia di correggermi?
data la forma differenziale
$omega(x,y)=(1/x+(2xy)/(x^2-y^2)^2)dx+(1/y-(x^2+y^2)/(x^2-y^2)^2)dy$
1-dire se è chiusa nel dominio (e dire quale è);
2-dire se è esatta nell'insieme $A=[(x,y);x>0;0
allllloooooooooooooooooora:
$omega(x,y)=f_1dx+f_2dy$
con
$f_1(x,y)=1/x+(2xy)/(x^2-y^2)^2$
$f_2(x,y)=1/y-(x^2+y^2)/(x^2-y^2)^2$
$(Df_1)/(Dy)=[2x(x^2-y^2)^2-2xy (x^2-y^2)(-2y)2]/[(x^2-y^2)^4]$
$=[2x(x^2-y^2)^2+8xy^2(x^2-y^2)]/[(x^2-y^2)^4]$
$=[2x(x^2-y^2)(x^2-y^2+4y^2)]/[x^2-y^2)^4]$
$=[2x(x^2-y^2+4y^2)]/[(x^2-y^2)^3]=[2x(x^2+3y^2)]/[(x^2-y^2)^3]$
$(Df_2)/(Dx)=-[[2x(x^2-y^2)^2-(x^2+y^2)2(x^2-y^2)(2x)]/[(x^2-y^2)^4]]$
$=-[[2x(x^2-y^2)^2-4x(x^2+y^2)(x^2-y^2)]/[(x^2-y^2)^4]]$
$=-[[2x(x^2-y^2-2x^2-2y^2)]/[(x^2-y^2)^3]]=-[2x(-x^2-3y^2)/(x^2-y^2)^3]$
essendo
$(Df_1)/(Dy)=(Df_2)/(Dx)$
la forma differenziale è chiusa
ps.ed il dominio quale è?
2-essendo chiusa sarà anche esatta.
uffffaaaaaaaaaaa!!!
il potenziale sarà:
$(Df_1)/(Dx)(x,y)=f_1(x,y)=1/x+(2xy)/(x^2-y^2)^2$
$(Df_2)/(Dy)(x,y)=f_2(x,y)=1/y-(x^2+y^2)/(x^2-y^2)^2$
integro la prima:
$f(x,y)=int(1/x+(2xy)/(x^2-y^2)^2)dx=log|x|+.....$?
$int(2xy)/((x^2-y^2)^2)dx$ come si può svolgere?
Risposte
C'è un errore, mi pare, nel calcolo della derivata di $f_1$ rispetto a $y$.
"jestripa":
ps.ed il dominio quale è?
Per calcolare il dominio di $omega$ ti basta intersecare i domini delle due componenti $f_1,f_2$, i quali si ottengono privando il piano dei punti nei quali si annullano i denominatori delle frazioni.
"Luca.Lussardi":
C'è un errore, mi pare, nel calcolo della derivata di $f_1$ rispetto a $y$.
Sì, in effetti c'è un quadrato di troppo.
ora va bene?
ora va bene?
allora per il dominio,è tutto R?
"jestripa":
ora va bene?
No, l'errore c'è ancora... per la precisione è qui:
$(\partial f_1)/(\partial y)=[2x(x^2-y^2)^2-2xy (x^2-y^2)^2(-2y)2]/[(x^2-y^2)^4]$.
"jestripa":
allora per il dominio,è tutto R?
Per curiosità, perchè fai due o tre post di seguito invece di scrivere tutti i tuoi dubbi in un solo post?
Il tasto EDIT è un tuo amico, usalo.
Per tornare alla tua domanda: no, non è tutto $RR^2$. Il modo per determinare il dominio di $omega$ te l'ho segnalato prima.
P.S.: 700-esimo post!
Il dominio non può essere $\RR$... per altro è un sottoinsieme di $\RR^2$, nel quale i denominatori non si annullano...
scusate ma si era impallato il pc!
non era voluto.
cmq per me la derivata è giusta,o meglio non trovo l'errore perchè secondo i miei calcoli dovrebbe essere così.
Ma se voi dite che non lo è mi fido,solo che nn so come correggermi perchè non so dove sbaglio!
per il dominio invece,
$D=D_1+D_2$
dove
$D_1=\[(x!=0),((x^2-y^2)^2!=0)]$
$D_2=\[(y!=0),((x^2-y^2)^2!=0)]$
(nn trovo le parentesi graffe,dovrebbe essere un sistema,sorry)
per i secondi termini dei 2 domini non mi ricordo come si fa.......
non era voluto.
cmq per me la derivata è giusta,o meglio non trovo l'errore perchè secondo i miei calcoli dovrebbe essere così.
Ma se voi dite che non lo è mi fido,solo che nn so come correggermi perchè non so dove sbaglio!
per il dominio invece,
$D=D_1+D_2$
dove
$D_1=\[(x!=0),((x^2-y^2)^2!=0)]$
$D_2=\[(y!=0),((x^2-y^2)^2!=0)]$
(nn trovo le parentesi graffe,dovrebbe essere un sistema,sorry)
per i secondi termini dei 2 domini non mi ricordo come si fa.......
"jestripa":
$f_1(x,y)=1/x+(2xy)/(x^2-y^2)^2$
$(\partial f_1)/(\partial y)=[2x*(x^2-y^2)^2-2xy*2(-2y)(x^2-y^2)]/(x^2-y^2)^4=\ldots$
continua tu, è facilissimo (anche se fare conti alla lunga stanca).
"jestripa":
per il dominio invece,
$D=D_1capD_2$
dove
$D_1=\[(x!=0),((x^2-y^2)^2!=0)]$
$D_2=\[(y!=0),((x^2-y^2)^2!=0)]$
(nn trovo le parentesi graffe,dovrebbe essere un sistema,sorry)
per i secondi termini dei 2 domini non mi ricordo come si fa.......
Parentesi graffa aperta ${$ si fa con ALT+123 (del tastierino numerico); parentesi graffa chiusa $}$ con ALT+125 (sempre del tastierino numerico).
$D_1=\{(x!=0),((x^2-y^2)^2!=0):}$
$D_2=\{(y!=0),((x^2-y^2)^2!=0):}$
Per i secondi membri, basta tenere presente che: $(x^2-y^2)^2!=0$ se e solo se $x^2-y^2!=0$ ossia $(x-y)*(x+y)!=0$; poi applichi la Legge dell'annullamento del prodotto ed è fatta.
grazie!ci ero arrivata,infatti come mi hai suggerito ho usato EDIT e ora il problema è un altro...vedi ptrimo post!
quindi per il dominio:
$D_1=[(x,y)inR^2: x!=0,x!=+-y]$
$D_2=[(x,y)inR^2: y!=0,x!=+-y]$
così penso che vada bene
$D=[(x,y)inR^2: x!=0, y!=0, x!=+-y]$
$D_1=[(x,y)inR^2: x!=0,x!=+-y]$
$D_2=[(x,y)inR^2: y!=0,x!=+-y]$
così penso che vada bene
$D=[(x,y)inR^2: x!=0, y!=0, x!=+-y]$
"jestripa":
quindi per il dominio:
$D_1={(x,y)inR^2:quad x !=0,x!=pm y}$
$D_2={(x,y)inR^2:quad y !=0,x!= pm y}$
così penso che vada bene
$D={(x,y)inR^2:quad x !=0, y !=0, x != pm y}$
Ok, quindi $D$ coincide col piano privato degli assi (d'eq. $x=0$ ed $y=0$) e delle bisettrici (d'eq. $x=y$ ed $x=-y$).
Per risolvere il quesito 2- ti basta tenere presente che una forma differenziale chiusa è esatta in ogni componente semplicemente connessa del suo insieme di definizione.
Essendo $A={(x,y) in RR^2:quad x>0, 0
L'integrale l'hai impostato bene. Per risolvere il "secondo addendo" tieni presente che $y$ è costante rispetto ad $x$ (e può essere portata fuori dal segno d'integrale) e che $2x$ è la derivata rispetto ad $x$ di $x^2-y^2$...
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