Forme Differenziali
Ciao a tutti, ho risolto questo esercizio sulle forme differenziali, ma mi sono bloccata alla fine, credo che ci sia qualcosa di sbagliato ma non so dove, qualcuno può aiutarmi per favore? Grazie mille ! 
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Calcolare al variare del parametro $r >0$ , $r!= 1$ , l'integrale $int\_{\gamma_r} \omega$ dove
$\omega = (x-1)/(x^2 + y^2 -2x +1) dx + (y)/(x^2 + y^2 -2x +1) dy $
e
$\gamma_r$ rappresenta la circonferenza di raggio $r$ e centro nell'origine, percorsa una sola volta in senso antiorario.
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Allora, il dominio è $RR^2 - {1,0}$ , facendo le derivate parziali ho verificato che è chiusa, essendo $C^1$ sul dominio allora è anche esatta. Giusto?
ho scritto $\gamma_r$ in forma parametrica : $\{(x = r cost),(y = r sent):}$
QUI HO UN DUBBIO : $t in [0, 2 \pi]$ ??? perché non c'è scritto nel testo se è delimitata a qualche piano e/o quadrante, però non ne sono convinta
Dopo di che ho fatto l'integrale , sostituendo $dx = - r sent dt$ e $dy = r cost dt$
Facendo le sostituizioni alla fine ottengo:
$int\_0^(2\pi) (r sent)/(r^2 - 2rcost +1) dt $ = $1/2 ln (r^2 - 2rcost +1)$
ma tra $0$ e $2\pi$ viene ovviamente zero il risultato, per questo non mi convince l'intervallo di $t$ , anche perché l'esercizio chiede di discutere al variare di $r$ , quindi io porrei l'argomento del logaritmo (dopo aver inserito gli estremi dell'integrale) > 0 .. no?
help
Thanks
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Calcolare al variare del parametro $r >0$ , $r!= 1$ , l'integrale $int\_{\gamma_r} \omega$ dove
$\omega = (x-1)/(x^2 + y^2 -2x +1) dx + (y)/(x^2 + y^2 -2x +1) dy $
e
$\gamma_r$ rappresenta la circonferenza di raggio $r$ e centro nell'origine, percorsa una sola volta in senso antiorario.
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Allora, il dominio è $RR^2 - {1,0}$ , facendo le derivate parziali ho verificato che è chiusa, essendo $C^1$ sul dominio allora è anche esatta. Giusto?
ho scritto $\gamma_r$ in forma parametrica : $\{(x = r cost),(y = r sent):}$
QUI HO UN DUBBIO : $t in [0, 2 \pi]$ ??? perché non c'è scritto nel testo se è delimitata a qualche piano e/o quadrante, però non ne sono convinta
Dopo di che ho fatto l'integrale , sostituendo $dx = - r sent dt$ e $dy = r cost dt$
Facendo le sostituizioni alla fine ottengo:
$int\_0^(2\pi) (r sent)/(r^2 - 2rcost +1) dt $ = $1/2 ln (r^2 - 2rcost +1)$
ma tra $0$ e $2\pi$ viene ovviamente zero il risultato, per questo non mi convince l'intervallo di $t$ , anche perché l'esercizio chiede di discutere al variare di $r$ , quindi io porrei l'argomento del logaritmo (dopo aver inserito gli estremi dell'integrale) > 0 .. no?
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Risposte
C'è subito un grosso errore: una forma differenziale chiusa non è necessariamente esatta se il dominio non è semplicemente connesso. La cosa è ancora più grave, e dimostra che tu non hai capito la teoria, perché poi procedi a fare il conto. Se la forma fosse esatta, sapresti a priori che l'integrale si annulla e non ci sarebbe bisogno di fare conti.
Quanto a \(t\in [0, 2\pi]\), è corretto, la traccia dice di parametrizzare una circonferenza.
Non so se il risultato sia giusto, ma non è detto non lo sia. Tuttavia, io controllerei bene cosa succede per \(r=1\). La circonferenza di raggio 1 passa per il punto \((1, 0)\), che è escluso dal dominio, quindi qualcosa di strano dovrebbe succedere.
Quanto a \(t\in [0, 2\pi]\), è corretto, la traccia dice di parametrizzare una circonferenza.
Non so se il risultato sia giusto, ma non è detto non lo sia. Tuttavia, io controllerei bene cosa succede per \(r=1\). La circonferenza di raggio 1 passa per il punto \((1, 0)\), che è escluso dal dominio, quindi qualcosa di strano dovrebbe succedere.
L'ho aperta stamattina per la prima volta in vita mia, non ho ancora assimilato tutti i concetti, abbi pazienza
quindi il dominio non è semplicemente connesso? quindi la mia $\omega$ non è esatta?
se il testo mi dice di considerare $r!=1$ non credo abbia senso valutare cosa succede in $r=1$
mi pare strano che mi chieda di valutare cosa succede al variare di $r$ se poi l'integrale fa zero .. no?
quindi il dominio non è semplicemente connesso? quindi la mia $\omega$ non è esatta?
se il testo mi dice di considerare $r!=1$ non credo abbia senso valutare cosa succede in $r=1$
mi pare strano che mi chieda di valutare cosa succede al variare di $r$ se poi l'integrale fa zero .. no?
Sul fatto che la forma sia esatta o no, è inutile che ti risponda, devi studiare la teoria prima e poi ci arriverai facilmente da sola.
Sul resto, perché ti disturba che l'integrale faccia zero? Può essere, perché no? Il procedimento è corretto, ricontrolla magari i conti. Quanto a \(r\ne 1\), non mi ero accorto di questa richiesta della traccia.
Sul resto, perché ti disturba che l'integrale faccia zero? Può essere, perché no? Il procedimento è corretto, ricontrolla magari i conti. Quanto a \(r\ne 1\), non mi ero accorto di questa richiesta della traccia.
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