Forme differenziali
Buongiorno a tutti,
Volevo sottoporre la seguente problematica concettuale che ho riscontrato studiando geometria differenziale. In particolare supponiamo di avere a che fare con una superficie esprimibile in forma esplicita come:
$ z=f(x,y) $
mentre in forma parametrica:
$ x=varphi (u,v),y=psi (u,v),
z=omega (u,v) $
Posso allora scrivere le seguenti forme differenziali:
$ dx=(partial x)/(partial u)du+(partial x)/(partial v)dv $
$ dy=(partial y)/(partial u)du+(partial y)/(partial v)dv $
ed ancora le seguenti:
$ du=(partial u)/(partial x)dx+(partial u)/(partial y)dy $
$ dv=(partial v)/(partial x)dx+(partial v)/(partial y)dy $
Ora, sostituendo le prime nelle seconde, ottengo:
$ du=(partial u)/(partial x)(partial x)/(partial u)du+(partial u)/(partial x)(partial x)/(partial v)dv+(partial u)/(partial y)(partial y)/(partial u)du+(partial u)/(partial y)(partial y)/(partial v)dv $
che dovrebbe restituirmi un'identità. Tuttavia non posso scambiare l'ordine delle derivate parziali altrimenti l'identità non risulta più tale. Non posso ad esempio dire che:
$ (partial u)/(partial x)(partial x)/(partial u)=(partial u)/(partial u)(partial x)/(partial x)=1 $
Perché?
Grazie mille!
Volevo sottoporre la seguente problematica concettuale che ho riscontrato studiando geometria differenziale. In particolare supponiamo di avere a che fare con una superficie esprimibile in forma esplicita come:
$ z=f(x,y) $
mentre in forma parametrica:
$ x=varphi (u,v),y=psi (u,v),
z=omega (u,v) $
Posso allora scrivere le seguenti forme differenziali:
$ dx=(partial x)/(partial u)du+(partial x)/(partial v)dv $
$ dy=(partial y)/(partial u)du+(partial y)/(partial v)dv $
ed ancora le seguenti:
$ du=(partial u)/(partial x)dx+(partial u)/(partial y)dy $
$ dv=(partial v)/(partial x)dx+(partial v)/(partial y)dy $
Ora, sostituendo le prime nelle seconde, ottengo:
$ du=(partial u)/(partial x)(partial x)/(partial u)du+(partial u)/(partial x)(partial x)/(partial v)dv+(partial u)/(partial y)(partial y)/(partial u)du+(partial u)/(partial y)(partial y)/(partial v)dv $
che dovrebbe restituirmi un'identità. Tuttavia non posso scambiare l'ordine delle derivate parziali altrimenti l'identità non risulta più tale. Non posso ad esempio dire che:
$ (partial u)/(partial x)(partial x)/(partial u)=(partial u)/(partial u)(partial x)/(partial x)=1 $
Perché?
Grazie mille!
Risposte
Ti serve una qualche assunzione di invertibilità locale per passare a $u,v$ in funzione di $x,y,z$...
Grazie mille per la risposta; quello che mi sfugge però è il significato dell'operatore derivata parziale in questo caso.
Considera ancora il termine:
$ (partial u)/(partial x)(partial x)/(partial u) $
lo avrei erroneamente calcolato pari a 1.
Invece se, per puro esempio, considero:
$ x=u+v $ e $ y=u+2v $ , quindi $ u=2x-y $ e $ v=y-x $
$ (partial u)/(partial x)(partial x)/(partial u)=2 $
Quindi sono due gli errori possibili che faccio:
1) non posso incrociare le derivate parziali (sono fuori dal Th di Schwartz)
2) non ha senso la derivata $ (partial u(x,y))/(partial u) $
In entrambi i casi vorrei capire perché al fine di migliorare le mie basi di matematica.
PS.: sostituendo i differenziali di x ed y in quelli di u e v calcolati per la funzione sopra riportata a titolo di esempio, tornano tutte identità.
Considera ancora il termine:
$ (partial u)/(partial x)(partial x)/(partial u) $
lo avrei erroneamente calcolato pari a 1.
Invece se, per puro esempio, considero:
$ x=u+v $ e $ y=u+2v $ , quindi $ u=2x-y $ e $ v=y-x $
$ (partial u)/(partial x)(partial x)/(partial u)=2 $
Quindi sono due gli errori possibili che faccio:
1) non posso incrociare le derivate parziali (sono fuori dal Th di Schwartz)
2) non ha senso la derivata $ (partial u(x,y))/(partial u) $
In entrambi i casi vorrei capire perché al fine di migliorare le mie basi di matematica.
PS.: sostituendo i differenziali di x ed y in quelli di u e v calcolati per la funzione sopra riportata a titolo di esempio, tornano tutte identità.
E' un problema che hanno tante persone. Credo che la notazione che si è sedimentata non aiuti molto a chiarire le idee su cosa i vari simboli di derivazione significano. Al momento io conto questi:
1. La derivata di una funzione di una variabile rispetto a quella variabile, solitamente \(\frac{df}{dx}\).
2. La derivata parziale rispetto a una singola variabile, solitamente indicata \(\frac{\partial f}{\partial x_i}\)
3. La "derivata rispetto al tempo" che compare nelle equazioni differenziali, in meccanica razionale e in generale in fisica, indicata come $\dot r, \ddot q$, etc.
Ciascuna di queste notazioni ha un dominio apparentemente preciso, ma ho l'impressione che molti matematici (me compreso) non sappiano stimarlo con precisione. Un fisico ti direbbe che una scrittura come \(\dot q\) serve a derivare una funzione della forma $]0,1[\to X$, dove $X$ è un qualche spazio di funzioni che possono essere soluzioni di un'equazione differenziale "rispetto -o "lungo" -le soluzioni dell'equazione stessa". Chiaramente scritture come \(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\) che trovi nelle equazioni di Lagrange non aiutano molto a chiarire le idee.
Venendo al tuo problema, devi familiarizzare col teorema della funzione implicita.
1. La derivata di una funzione di una variabile rispetto a quella variabile, solitamente \(\frac{df}{dx}\).
2. La derivata parziale rispetto a una singola variabile, solitamente indicata \(\frac{\partial f}{\partial x_i}\)
3. La "derivata rispetto al tempo" che compare nelle equazioni differenziali, in meccanica razionale e in generale in fisica, indicata come $\dot r, \ddot q$, etc.
Ciascuna di queste notazioni ha un dominio apparentemente preciso, ma ho l'impressione che molti matematici (me compreso) non sappiano stimarlo con precisione. Un fisico ti direbbe che una scrittura come \(\dot q\) serve a derivare una funzione della forma $]0,1[\to X$, dove $X$ è un qualche spazio di funzioni che possono essere soluzioni di un'equazione differenziale "rispetto -o "lungo" -le soluzioni dell'equazione stessa". Chiaramente scritture come \(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\) che trovi nelle equazioni di Lagrange non aiutano molto a chiarire le idee.
Venendo al tuo problema, devi familiarizzare col teorema della funzione implicita.
Grazie mille per l'indicazione: non conosco tale teorema e vado subito a documentarmi.
Se nel frattempo potessi fornirmi un esempio di applicazione al problema mi sarebbe veramente utile.
Grazie ancora!
Se nel frattempo potessi fornirmi un esempio di applicazione al problema mi sarebbe veramente utile.
Grazie ancora!
In questa pagina si fa qualcosa del genere:
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html
Comincia a leggere da:
To express partial derivatives with respect to Cartesian axes in terms of partial derivatives of the spherical coordinates, [...]
Come vedi non puoi "sostituire" come fai tu perché le derivate non si possono trattare come fossero dei rapporti, e le derivate parziali ancora meno. Però puoi risolvere il sistema lineare, che corrisponde ad invertire una matrice, posto che la matrice sia invertibile, naturalmente.
In questo caso ti scatta il teorema della funzione implicita/inversa (si enunciano come teoremi separati ma realmente sono la stessa cosa), che è lo stesso che dice killing_buddha. Mi piace come si tratta quel teorema sulla vecchia edizione del Pagani-Salsa. Ma è un argomento vasto e c'è addirittura un monografico intero ad esso dedicato:
http://www.springer.com/gp/book/9781461200598
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html
Comincia a leggere da:
To express partial derivatives with respect to Cartesian axes in terms of partial derivatives of the spherical coordinates, [...]
Come vedi non puoi "sostituire" come fai tu perché le derivate non si possono trattare come fossero dei rapporti, e le derivate parziali ancora meno. Però puoi risolvere il sistema lineare, che corrisponde ad invertire una matrice, posto che la matrice sia invertibile, naturalmente.
In questo caso ti scatta il teorema della funzione implicita/inversa (si enunciano come teoremi separati ma realmente sono la stessa cosa), che è lo stesso che dice killing_buddha. Mi piace come si tratta quel teorema sulla vecchia edizione del Pagani-Salsa. Ma è un argomento vasto e c'è addirittura un monografico intero ad esso dedicato:
http://www.springer.com/gp/book/9781461200598
Chiaro, grazie mille per gli spunti.
Ovviamente le derivate, soprattutto parziali, non possono essere trattate come rapporti. Se avessi usato la seguente notazione, forse più ortodossa, probabilmente non sarei caduto in tentazione:
$ (partial u)/(partial x)=(partial alpha(x,y))/(partial x) $
dove $ u=alpha(x,y) $
E così per le altre.
Ovviamente le derivate, soprattutto parziali, non possono essere trattate come rapporti. Se avessi usato la seguente notazione, forse più ortodossa, probabilmente non sarei caduto in tentazione:
$ (partial u)/(partial x)=(partial alpha(x,y))/(partial x) $
dove $ u=alpha(x,y) $
E così per le altre.
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