Forme differenziali
Ho preso quest'esercizi da un vecchio esame di Analisi 3:
Si consideri la forma differenziale:
$ w= (x/(y+x^2))dx+(a/(y+x^2))dy $ dove a è un parametro reale.
1) Dire se ci sono valori del parametro a per cui la forma risulta esatta.
2) Per i valori di a trovati al punto precedente, determinare un potenziale di w.
3) Per un generico valore di a, calcolare l'integrale di w sul segmento che va dal punto (0,-2) al punto (1,-2).
Allora, riguardo il punto uno, devo dimostrare che la forma è esatta. Prima di tutto, w è definita su tutti i punti (x,y) escluso l'origine, è giusto o sbaglio?... quindi se così fosse, l'insieme di definizione non sarebbe semplicemente connesso... Poi, verifico che la forma sia chiusa, e dopo aver svolto i calcoli, w sarebbe chiusa se a=1/2. Però così non sono sicura che la forma sia esatta, in tal caso mi determino, se esiste, un potenziale?
Riguardo i due punti successivi non ci sono problemi, applico le definizioni ed è fatta..
Si consideri la forma differenziale:
$ w= (x/(y+x^2))dx+(a/(y+x^2))dy $ dove a è un parametro reale.
1) Dire se ci sono valori del parametro a per cui la forma risulta esatta.
2) Per i valori di a trovati al punto precedente, determinare un potenziale di w.
3) Per un generico valore di a, calcolare l'integrale di w sul segmento che va dal punto (0,-2) al punto (1,-2).
Allora, riguardo il punto uno, devo dimostrare che la forma è esatta. Prima di tutto, w è definita su tutti i punti (x,y) escluso l'origine, è giusto o sbaglio?... quindi se così fosse, l'insieme di definizione non sarebbe semplicemente connesso... Poi, verifico che la forma sia chiusa, e dopo aver svolto i calcoli, w sarebbe chiusa se a=1/2. Però così non sono sicura che la forma sia esatta, in tal caso mi determino, se esiste, un potenziale?
Riguardo i due punti successivi non ci sono problemi, applico le definizioni ed è fatta..
Risposte
edit: il ragionamento che segue in questo messaggio, vale in un caso diverso da quello proposto e cioè quando la forma differenziale non è definita su un singolo punto. leggi quanto segue se hai dubbi su come procedere in tal caso, altrimenti salta pure al messaggio successivo.
calcola l'integrale della forma differenziale lungo una qualsiasi curva chiusa che racchiuda l'origine. se l'integrale ti viene $0$, allora la forma differenziale non è esatta su $RR^2$ (origine inclusa).
la cosa sorprendente che mi è stata dimostrata con una dimostrazione che ancora fatico un po' a digerire anche se è abbastanza semplice (potrei pure esportela in questo momento), è che se l'integrale lungo quella stessa curva è $0$, allora puoi concludere che la forma differenziale sia esatta su $RR^2$. questa è una cosa che mi sciocca ancora ma pare funzioni..
in definitiva: devi calcolare l'integrale lungo una qualsiasi curva (consiglio un quadrato di lato $2$, così che passi per i punti $(\pm 1, 0)$ e $(0, \pm1)$. gli integrali così si vedono ad occhio su una curva del genere, anche se sono logaritmi e arcotangenti
), se tale integrale è nullo, concludi che la forma è esatta su $RR^2$.
se vuoi la dimostrazione più o meno rigorosa, chiedi pure.
calcola l'integrale della forma differenziale lungo una qualsiasi curva chiusa che racchiuda l'origine. se l'integrale ti viene $0$, allora la forma differenziale non è esatta su $RR^2$ (origine inclusa).
la cosa sorprendente che mi è stata dimostrata con una dimostrazione che ancora fatico un po' a digerire anche se è abbastanza semplice (potrei pure esportela in questo momento), è che se l'integrale lungo quella stessa curva è $0$, allora puoi concludere che la forma differenziale sia esatta su $RR^2$. questa è una cosa che mi sciocca ancora ma pare funzioni..
in definitiva: devi calcolare l'integrale lungo una qualsiasi curva (consiglio un quadrato di lato $2$, così che passi per i punti $(\pm 1, 0)$ e $(0, \pm1)$. gli integrali così si vedono ad occhio su una curva del genere, anche se sono logaritmi e arcotangenti
), se tale integrale è nullo, concludi che la forma è esatta su $RR^2$.se vuoi la dimostrazione più o meno rigorosa, chiedi pure.
La forma non è definita su tutti i punti della parabola $y=-x^2$, per cui procedere come ha supposto Ziel non è molto comodo, in quanto ogni volta che fissi un punto della parabola e prendi una curva chiusa centrata in tale punto, essa interseca la parabola in due punti.
Per procedere in questo caso devi spezzare il piano in due domini, rispettivamente l'interno e l'esterno della parabola. A questo punto tali domini sono semplicemente connessi, per cui puoi verificare separatamente se la forma è esatta su essi verificando che la forma è chiusa.
Una volta fatto questo, puoi determinare due potenziali sui due domini, ciascuno dipendente da una costante arbitraria diversa 8(e ce ne fosse solo una, allora avresti la forma ben definita dappertutto è ciò non è vero).
Per il punto 3, invece, devi semplicemente calcolare l'integrale curvilineo della forma precedente (anche se, ragionandoci su, si potrebbe fare tutto in maniera semplice senza calcolare integrali...)
Per procedere in questo caso devi spezzare il piano in due domini, rispettivamente l'interno e l'esterno della parabola. A questo punto tali domini sono semplicemente connessi, per cui puoi verificare separatamente se la forma è esatta su essi verificando che la forma è chiusa.
Una volta fatto questo, puoi determinare due potenziali sui due domini, ciascuno dipendente da una costante arbitraria diversa 8(e ce ne fosse solo una, allora avresti la forma ben definita dappertutto è ciò non è vero).
Per il punto 3, invece, devi semplicemente calcolare l'integrale curvilineo della forma precedente (anche se, ragionandoci su, si potrebbe fare tutto in maniera semplice senza calcolare integrali...)
ops, mea culpa. ho dato retta senza ragionare al fatto che l'unico punto che desse problemi fosse l'origine.
tutto il mio ragionamento non è valido in questo caso giustamente.
tutto il mio ragionamento non è valido in questo caso giustamente.
Ok, capito tutto grazie mille per l'aiuto c:
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