Forme differenziale definita in uno stellato?
data la forma differenziale
$omega=(y(1-x)-1)/(xy-1)dx+x/(xy-1)dy$
calcolare $int_(gamma) omega$
essendo $gamma$ il sostegno della curva di equazione $(-1+cost,-1+sint)$ con $t in [0,3pi/2]$
mi domando: mi trovo in uno stellato? il domino di $omega$ l'insieme $RR^2$ privato dei punti $(1,1)$ e $(-1,-1)$. non capisco se la curva è contenuta o no in uno stellato
$omega=(y(1-x)-1)/(xy-1)dx+x/(xy-1)dy$
calcolare $int_(gamma) omega$
essendo $gamma$ il sostegno della curva di equazione $(-1+cost,-1+sint)$ con $t in [0,3pi/2]$
mi domando: mi trovo in uno stellato? il domino di $omega$ l'insieme $RR^2$ privato dei punti $(1,1)$ e $(-1,-1)$. non capisco se la curva è contenuta o no in uno stellato
Risposte
"mazzy89":
mi domando: mi trovo in uno stellato? il domino di $omega$ l'insieme $RR^2$ privato dei punti $(1,1)$ e $(-1,-1)$. non capisco se la curva è contenuta o no in uno stellato
In realtà no, i punti in cui non è definita la forma differenziale sono tutti quelli che giacciono sull'iperbole di equazione
[tex]$xy=1$[/tex], per cui del tipo [tex]$(x,1/x)$[/tex] al variare di [tex]$x$[/tex] in $RR$ tolto lo zero.
Il piano resta diviso in 3 porzioni (sopra, in mezzo e sotto i due rami di iperbole)
Privato dei punto $x=1/y$ secondo me non è semplicemente connesso..
Edit: Mentre scrivevo ha postato Steven,che conferma ciò che volevo dire.Ne da sicuramente una sicurezza maggiore.
Edit: Mentre scrivevo ha postato Steven,che conferma ciò che volevo dire.Ne da sicuramente una sicurezza maggiore.
io vorrei chiedere come si fa nel caso di una forma differenziale definita in un dominio che è unione di semplicemente connessi ? tipo $R^2$ meno le bisettrici...si considerano i vari insiemi separatamente oppure se ne sceglie uno dove si deve calcolare l'integrale curvilineo ?devo aprire un thread?
"Steven":
[quote="mazzy89"]
mi domando: mi trovo in uno stellato? il domino di $omega$ l'insieme $RR^2$ privato dei punti $(1,1)$ e $(-1,-1)$. non capisco se la curva è contenuta o no in uno stellato
In realtà no, i punti in cui non è definita la forma differenziale sono tutti quelli che giacciono sull'iperbole di equazione
[tex]$xy=1$[/tex], per cui del tipo [tex]$(x,1/x)$[/tex] al variare di [tex]$x$[/tex] in $RR$ tolto lo zero.
Il piano resta diviso in 3 porzioni (sopra, in mezzo e sotto i due rami di iperbole)
[/quote]allora la curva è contenuta in un sottoinsieme stellato/connesso/semplicemente connesso del domino.infatti la curva ha punto iniziale $(0,-1)$ e punto finale $(-1,-2)$ come si può vedere graficamente
mazzy vogliamo sapere la stessa cosa..cioè se ha senso studiare la $\omega$ in un sottoinsieme semplicemente connesso del dominio per calcolare una primitiva e poi l'integrale curvilineo di una curva con estremi nel sottoinsieme o se non si può fare e si deve calcolare proprio l'integrale curvilineo
"anticristo":
mazzy vogliamo sapere la stessa cosa..cioè se ha senso studiare la $\omega$ in un sottoinsieme semplicemente connesso del dominio per calcolare una primitiva e poi l'integrale curvilineo di una curva con estremi nel sottoinsieme o se non si può fare e si deve calcolare proprio l'integrale curvilineo
io confermo che ha senso.settimane fà avevo avuto questo dubbio ma è stato estirpato da un altro utente del forum.
"mazzy89":
[quote="anticristo"]mazzy vogliamo sapere la stessa cosa..cioè se ha senso studiare la $\omega$ in un sottoinsieme semplicemente connesso del dominio per calcolare una primitiva e poi l'integrale curvilineo di una curva con estremi nel sottoinsieme o se non si può fare e si deve calcolare proprio l'integrale curvilineo
io confermo che ha senso.settimane fà avevo avuto questo dubbio ma è stato estirpato da un altro utente del forum.[/quote]
si può fare, perchè un teorema ti assicura che se hai una forma differenziale chiusa definita in un aperto connesso (non semplicemente), allora la circuitazione calcolata su due circuiti omotopi è la stessa. come corollario ricavi che se un circuito è omotopo ad un punto (ovvero ti trovi in un sottoinsieme semplicemente connesso del dominio) la circuitazione è nulla.
"enr87":
[quote="mazzy89"][quote="anticristo"]mazzy vogliamo sapere la stessa cosa..cioè se ha senso studiare la $\omega$ in un sottoinsieme semplicemente connesso del dominio per calcolare una primitiva e poi l'integrale curvilineo di una curva con estremi nel sottoinsieme o se non si può fare e si deve calcolare proprio l'integrale curvilineo
io confermo che ha senso.settimane fà avevo avuto questo dubbio ma è stato estirpato da un altro utente del forum.[/quote]
si può fare, perchè un teorema ti assicura che se hai una forma differenziale chiusa definita in un aperto connesso (non semplicemente), allora la circuitazione calcolata su due circuiti omotopi è la stessa. come corollario ricavi che se un circuito è omotopo ad un punto (ovvero ti trovi in un sottoinsieme semplicemente connesso del dominio) la circuitazione è nulla.[/quote]
ecco chi era l'utente che mi ha aiutato.grande enr87.ci butti un salvagente!!
il problema è che per vedere se la forma è esatta (ma la domanda non chiede questo) bisognerebbe studiare ogni curva chiusa definita nell'insieme, quindi bisogna cercare un'altra via (mazzy89, ti ho scritto un pm a riguardo)
[edit] in realtà la domanda è leggermente diversa: in questo caso si chiede se abbia senso studiare la forma differenziale in un sottoinsieme del dominio. la risposta è sì, perchè se $omega$ è esatta in un suo sottoinsieme, e vuoi calcolare il lavoro lungo un percorso contenuto in quel sottoinsieme, sei piuttosto agevolato perchè basta che ti calcoli i potenziali
[edit] in realtà la domanda è leggermente diversa: in questo caso si chiede se abbia senso studiare la forma differenziale in un sottoinsieme del dominio. la risposta è sì, perchè se $omega$ è esatta in un suo sottoinsieme, e vuoi calcolare il lavoro lungo un percorso contenuto in quel sottoinsieme, sei piuttosto agevolato perchè basta che ti calcoli i potenziali
"enr87":
il problema è che per vedere se la forma è esatta (ma la domanda non chiede questo) bisognerebbe studiare ogni curva chiusa definita nell'insieme, quindi bisogna cercare un'altra via (mazzy89, ti ho scritto un pm a riguardo)
invece secondo me non è così.dai miei appunti a me risulta che se $omega$ non è definito in uno stellato ma l'integrale di una qualsiasi curva che circonda il/i punto singolare/i dell'insieme è nullo allora $omega$ è esatta. quindi bisogna solo una curva e non ogni curva chiusa. un'esercizio del mio prof svolto in aula è proprio così.abbiamo considerato solo una curva contenente il punto del dominio
aspetta, secondo me stiamo per fare confusione. prima per caso ho buttato l'occhio su un topic in cui è intervenuto steven, sempre riguardo alle forme differenziali. una forma è esatta se e solo se la circuitazione lungo OGNI percorso contenuto nel dominio è nulla (questo è principalmente il motivo per cui ti ho mandato il pm se l'hai letto).
sarei comunque curioso di vedere l'esercizio che dici.. sei davvero sicuro che dal fatto che la circuitazione fosse nulla lungo una curva chiusa, abbia dedotto che la forma è esatta?
sarei comunque curioso di vedere l'esercizio che dici.. sei davvero sicuro che dal fatto che la circuitazione fosse nulla lungo una curva chiusa, abbia dedotto che la forma è esatta?
"enr87":
aspetta, secondo me stiamo per fare confusione. prima per caso ho buttato l'occhio su un topic in cui è intervenuto steven, sempre riguardo alle forme differenziali. una forma è esatta se e solo se la circuitazione lungo OGNI percorso contenuto nel dominio è nulla (questo è principalmente il motivo per cui ti ho mandato il pm se l'hai letto).
sarei comunque curioso di vedere l'esercizio che dici.. sei davvero sicuro che dal fatto che la circuitazione fosse nulla lungo una curva chiusa, abbia dedotto che la forma è esatta?
l'esercizio è il seguente
data la seguente forma differenziale:
$omega=(log(x^2+y^2)+(2x^2)/(x^2+y^2))dx+(2xy)/(x^2+y^2)dy$
verificare che è esatta
il dominio è $RR^2 // {(0,0)}$
come si può facilmente verificare la $omega$ è chiusa ma non è esatta perché il dominio non è stellato. Allora prendiamo la curva $(cost,sint)$ con $t in [0,2pi]$ contenente il punto $(0,0)$ si ha che calcolando l'integrale curvilineo lunga la suddetta curva risulta uguale a $0$. Allora la $omega$ è esatta in tutto $RR^2 // {(0,0)}$
ma questo non è quello che avevamo fatto un po' di tempo fa, in cui dovevi calcolare il lavoro lungo un quadrato? altrimenti è molto simile.. se non ricordo male ti avevo suggerito di trovare il lavoro lungo la circonferenza di raggio 1 e centro l'origine, proprio perchè, essendo la forma differenziale chiusa e la circonferenza omotopa rispetto al quadrato, ottenevi un lavoro equivalente a quello del quadrato, e l'integrale si semplificava molto.
fai attenzione: dici che è chiusa, e va bene, ma forse poi volevi dire che non si può dedurre automaticamente che è esatta, proprio per il fatto che l'insieme non è semplicemente connesso.
comunque dedurre che è esatta non è così semplice come sembra, il ragionamento da fare è questo: qualsiasi circuito prendi, contenente il punto (0, 0) (cioè l'origine sta nell'area delimitata dal circuito), questo è omotopo alla circonferenza, e dunque l'integrale curvilineo ti dà lo stesso risultato (cioè 0). per quanto riguarda i circuiti che non contengono (0, 0), puoi dire che sono tutti omotopi ad un punto, infatti ti trovi in sottoinsiemi semplicemente connessi del dominio. da questo puoi allora dedurre che hai una forma esatta, perchè hai verificato che per OGNI circuito del dominio il lavoro è nullo (è ben diverso dal dire che basta che l'integrale sia nullo lungo una sola curva chiusa!).
probabilmente l'altra volta c'era un ragionamento simile da fare però non so se ti ho detto tutto correttamente. quando ritrovo il topic ti faccio sapere
fai attenzione: dici che è chiusa, e va bene, ma forse poi volevi dire che non si può dedurre automaticamente che è esatta, proprio per il fatto che l'insieme non è semplicemente connesso.
comunque dedurre che è esatta non è così semplice come sembra, il ragionamento da fare è questo: qualsiasi circuito prendi, contenente il punto (0, 0) (cioè l'origine sta nell'area delimitata dal circuito), questo è omotopo alla circonferenza, e dunque l'integrale curvilineo ti dà lo stesso risultato (cioè 0). per quanto riguarda i circuiti che non contengono (0, 0), puoi dire che sono tutti omotopi ad un punto, infatti ti trovi in sottoinsiemi semplicemente connessi del dominio. da questo puoi allora dedurre che hai una forma esatta, perchè hai verificato che per OGNI circuito del dominio il lavoro è nullo (è ben diverso dal dire che basta che l'integrale sia nullo lungo una sola curva chiusa!).
probabilmente l'altra volta c'era un ragionamento simile da fare però non so se ti ho detto tutto correttamente. quando ritrovo il topic ti faccio sapere
ecco qua:
https://www.matematicamente.it/forum/cal ... tml#418226
quando nel mio messaggio del 28 giugno ore 18.07 ti ho scritto "se il lavoro è nullo, la forma è esatta", in realtà il ragionamento da fare è quello che ti ho descritto giusto sopra. scusa per il disguido.
https://www.matematicamente.it/forum/cal ... tml#418226
quando nel mio messaggio del 28 giugno ore 18.07 ti ho scritto "se il lavoro è nullo, la forma è esatta", in realtà il ragionamento da fare è quello che ti ho descritto giusto sopra. scusa per il disguido.
scusate non vorrei dire ERESIE ma la forma può essere esatta anche se il dominio non è semplicemente connesso o stellato...se esiste la primitiva la forma è esatta.
se ti trovi in un insieme semplicemente connesso la condizione necessaria che la forma sia chiusa diventa anche sufficiente (mi sembra di aver capito) .
ad esempio se hai una funzione
$f=x+log |y+x|- log |y-x|+c$
è normale che il suo differenziale sia definito in $R^2$ meno le bisettrici:
df=$\omega$=$(1+2y/(y^2 -x^2))dx- 2x/(y^2-x^2) dy$
oppure non è così?
se ti trovi in un insieme semplicemente connesso la condizione necessaria che la forma sia chiusa diventa anche sufficiente (mi sembra di aver capito) .
ad esempio se hai una funzione
$f=x+log |y+x|- log |y-x|+c$
è normale che il suo differenziale sia definito in $R^2$ meno le bisettrici:
df=$\omega$=$(1+2y/(y^2 -x^2))dx- 2x/(y^2-x^2) dy$
oppure non è così?
"anticristo":
scusate non vorrei dire ERESIE ma la forma può essere esatta anche se il dominio non è semplicemente connesso o stellato...se esiste la primitiva la forma è esatta.
sì, è esatto! ma in certi casi è più comodo fare considerazioni sugli insiemi, cioè vedere se sono o meno semplicemente connessi, perchè eventualmente basta solo verificarne la chiusura (infatti, come hai detto, la chiusura è una condizione necessaria e sufficiente per l'esattezza, in insiemi semplicemente connessi)
poi nel tuo esempio hai preso una funzione e fatto il gradiente: è naturale che la forma differenziale associata sia esatta, perchè esiste un potenziale (primitiva) di $omega$, cioè f.
veramente dalla forma differenziale ho ricavato la primitiva;
mi sembra di aver letto che in alcuni casi è possibile trovare un fattore integrante da aggiungere a una forma differenziale non esatta per farla diventare esatta, è vero?
sul marcellini sbordone ho visto un esercizio che applica il teorema di caratterizzazione delle forme esatte per dimostrare che una forma chiusa in $R^2-(0,0)$ è esatta in $R^2-(0,0)$ se è nullo l'integrale di $\omega$ lungo UNA curva chiusa che circonda l'origine :si prova che $\omega $ è esatta in $R^2-(0,0)$ mostrando che è nullo l'integrale curvilineo di $\omega$ esteso ad ogni curva chiusa $\phi$ .
Si considera una curva generica $\phi $ che circonda l'origine e collega $\phi $ e $ \phi_0$ con un segmento ottenendo un insieme completamente contenuto in $R^2-(0,0)$;
poi dato che i due integrali estesi al segmento si elidono, si ha:
$int_\phi \omega - int_(\phi_0) \omega =0$ quindi $int_\phi \omega= int_(\phi_0) \omega= 0$
e il risultato vale anche se $\phi $ non circonda l'origine...
quindi in questo caso non è necessario fare infiniti integrali per considerare tutte le curve.
mi sembra di aver letto che in alcuni casi è possibile trovare un fattore integrante da aggiungere a una forma differenziale non esatta per farla diventare esatta, è vero?
sul marcellini sbordone ho visto un esercizio che applica il teorema di caratterizzazione delle forme esatte per dimostrare che una forma chiusa in $R^2-(0,0)$ è esatta in $R^2-(0,0)$ se è nullo l'integrale di $\omega$ lungo UNA curva chiusa che circonda l'origine :si prova che $\omega $ è esatta in $R^2-(0,0)$ mostrando che è nullo l'integrale curvilineo di $\omega$ esteso ad ogni curva chiusa $\phi$ .
Si considera una curva generica $\phi $ che circonda l'origine e collega $\phi $ e $ \phi_0$ con un segmento ottenendo un insieme completamente contenuto in $R^2-(0,0)$;
poi dato che i due integrali estesi al segmento si elidono, si ha:
$int_\phi \omega - int_(\phi_0) \omega =0$ quindi $int_\phi \omega= int_(\phi_0) \omega= 0$
e il risultato vale anche se $\phi $ non circonda l'origine...
quindi in questo caso non è necessario fare infiniti integrali per considerare tutte le curve.
"anticristo":
veramente dalla forma differenziale ho ricavato la primitiva;
mi sembra di aver letto che in alcuni casi è possibile trovare un fattore integrante da aggiungere a una forma differenziale non esatta per farla diventare esatta, è vero?
sul marcellini sbordone ho visto un esercizio che applica il teorema di caratterizzazione delle forme esatte per dimostrare che una forma chiusa in $R^2-(0,0)$ è esatta in $R^2-(0,0)$ se è nullo l'integrale di $\omega$ lungo UNA curva chiusa che circonda l'origine :si prova che $\omega $ è esatta in $R^2-(0,0)$ mostrando che è nullo l'integrale curvilineo di $\omega$ esteso ad ogni curva chiusa $\phi$ .
Si considera una curva generica $\phi $ che circonda l'origine e collega $\phi $ e $ \phi_0$ con un segmento ottenendo un insieme completamente contenuto in $R^2-(0,0)$;
poi dato che i due integrali estesi al segmento si elidono, si ha:
$int_\phi \omega - int_(\phi_0) \omega =0$ quindi $int_\phi \omega= int_(\phi_0) \omega= 0$
e il risultato vale anche se $\phi $ non circonda l'origine...
quindi in questo caso non è necessario fare infiniti integrali per considerare tutte le curve.
se vuoi trovarti la rpimitiva sei libero di farlo, ma se la domanda chiede solo di vedere se una forma è esatta, allora non è sempre necessario. sinceramente non avevo mai sentito la cosa sul fattore integrante che farebbe diventare esatte forme inesatte, però non studio matematica quindi qualcosa potrebbe sfuggirmi.
per l'altra questione, è vero che ci sono casi in cui basta vedere che il lavoro sia nullo solo lungo un percorso chiuso, ma perchè questo ti dà la garanzia che lungo OGNI percorso chiuso il lavoro è nullo (l'avevo scritto anche sopra). quindi sì, in questo caso non ti occorre fare infiniti integrali.. ma in molti altri casi purtroppo non hai questa fortuna
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