Forme chiuse negli insiemi rettangolari
Sia $ w=a*dx+b*dy $ una forma differenziale chiusa in un insieme rettangolare. Devo dimostrare che w è esatta.
Fissiamo P (Xo, Yo) e consideriamo $ gamma $ una curva congiungente P con un punto generico Q (X,Y).
$ gamma $ è composta da due segmenti: uno orizzontale da (Xo, Yo) a (X, Yo) e uno verticale da (X, Yo) a (X, Y).
Se per comodità pensiamo di stare nel primo quadrante, Q è a destra e in alto rispetto a P.
$ gamma1 $ = $ { ( x=t ),( y=Yo ):} $ con t che va da Xo a X;
$ gamma2 $ = $ { ( x=X ), ( y=t ):} $ con t che va da Yo a Y.
Sia U= $ int_(gamma )^() w $ . Devo mostrare che $ (partial U)/(partial x) =a $ e che $ (partial U)/(partial y) =b $ .
Se w ha un potenziale, infatti, allora è esatta, e questa è proprio la nostra tesi.
$ U=int_(gamma1 ) w + int_(gamma2 ) w = int_(Xo)^(X) a(t, Yo)dt + 0 + 0 + int_(Yo)^(Y) b(X, t)dt $
Poichè w è chiusa, si ha che $ (partiala)/(partial y) =(partialb)/(partial x) $ .
Ora, per concludere, bisogna sfruttare il teorema fondamentale del calcolo integrale e la chiusura di w (questo dicono i miei appunti), ma non so come.
Grazie in anticipo.
Fissiamo P (Xo, Yo) e consideriamo $ gamma $ una curva congiungente P con un punto generico Q (X,Y).
$ gamma $ è composta da due segmenti: uno orizzontale da (Xo, Yo) a (X, Yo) e uno verticale da (X, Yo) a (X, Y).
Se per comodità pensiamo di stare nel primo quadrante, Q è a destra e in alto rispetto a P.
$ gamma1 $ = $ { ( x=t ),( y=Yo ):} $ con t che va da Xo a X;
$ gamma2 $ = $ { ( x=X ), ( y=t ):} $ con t che va da Yo a Y.
Sia U= $ int_(gamma )^() w $ . Devo mostrare che $ (partial U)/(partial x) =a $ e che $ (partial U)/(partial y) =b $ .
Se w ha un potenziale, infatti, allora è esatta, e questa è proprio la nostra tesi.
$ U=int_(gamma1 ) w + int_(gamma2 ) w = int_(Xo)^(X) a(t, Yo)dt + 0 + 0 + int_(Yo)^(Y) b(X, t)dt $
Poichè w è chiusa, si ha che $ (partiala)/(partial y) =(partialb)/(partial x) $ .
Ora, per concludere, bisogna sfruttare il teorema fondamentale del calcolo integrale e la chiusura di w (questo dicono i miei appunti), ma non so come.
Grazie in anticipo.
Risposte
"SalvatCpo":
Sia $ dw=a*dx+b*dy $ è una forma differenziale chiusa in un insieme rettangolare. Devo dimostrare che w è esatta.
Non sono affatto un teorico ma il problema mi pare "diretto".
Sai già che è chiusa (e comunque in caso si vede ad occhio nudo che soddisfa il teorema di Schwarz). Inoltre è continua e definita su tutto $R^2$, quindi anche per qualsiasi sottoinsieme compatto di $R^2$, come l'insieme rettangolare, quindi per il teorema di Poincarè è esatta.
Oppure anche meglio io ricaverei il potenziale $w(x,y)=ax+by$ e mostrerei che è definita e differenziabile su tutto $R^2$, quindi anche in sottoinsiemi rettangolari (insomma non ci sono punti critici).
Ma sicuramente arriverà qualche utente più preciso di me.
"SalvatCpo":
.
Se w ha un potenziale, infatti, allora è esatta, e questa è proprio la nostra tesi.
Ho notato solo ora quello che hai scritto....e non è vero.
La chiusura è una condizione necessaria ma non sufficiente. Mentre il potenziale potrebbe avere un dominio con punti critici.
In quel caso dovrai analizzare i contorni e provare che che gli integrali al contorno diano effettivamente zero....altrimenti non è una forma esatta.
Tempo fa Gugo scrisse un bel post in questo thread:
viewtopic.php?f=36&t=189637
Ma \(a\) e \(b\) sono costanti?
No, non sono costanti. Cmq ho risolto. Ho trovato sul Marcellini Sbordone la dim del fatto che se una forma è chiusa in un insieme di tipo rettangolare (due ipotesi), allora è esatta (una tesi). L'elemento che mi mancava era il teorema di derivazione sotto il segno di integrale, così si conclude quello che avevo iniziato.
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