Formalismo differenziale
Nello scrivere il differenziale di una superficie, quando questo debba essere parte di un'equazione vettoriale, io indico il segno di vettore anche sopra l'operatore
[tex]\overline{\textup{d}S}\quad \quad (1)[/tex]
altri testi (anche autorevoli), invece, riportano
[tex]\textup{d}\overline{S}\quad \quad (2)[/tex]
limitando il segno di vettore al termine [tex]S[/tex]. Mi chiedevo quale fosse il formalismo corretto (o "maggiormente" corretto).
In (1), risulta chiaro che la quantità rappresentata è un vettore, mentre in (2) viene rappresentata la "funzione" di una grandezza vettoriale. Certo, si può argomentare dicendo che la funzione [tex]\textup{d}[/tex], quando opera su una quantità vettoriale, restituisce una quantità vettoriale, ma nel caso (comune) di una superficie rappresentata, ad esempio, da una quadrica, non esiste un vettore [tex]S[/tex], mentre esiste certamente il vettore [tex]\overline{\textup{d}S}[/tex]. In questo caso, utilizzare la (2) mi sembrerebbe scorretto in quanto [tex]\overline{S}[/tex] sarebbe una quantità inesistente.
Voi cosa ne pensate?
[tex]\overline{\textup{d}S}\quad \quad (1)[/tex]
altri testi (anche autorevoli), invece, riportano
[tex]\textup{d}\overline{S}\quad \quad (2)[/tex]
limitando il segno di vettore al termine [tex]S[/tex]. Mi chiedevo quale fosse il formalismo corretto (o "maggiormente" corretto).
In (1), risulta chiaro che la quantità rappresentata è un vettore, mentre in (2) viene rappresentata la "funzione" di una grandezza vettoriale. Certo, si può argomentare dicendo che la funzione [tex]\textup{d}[/tex], quando opera su una quantità vettoriale, restituisce una quantità vettoriale, ma nel caso (comune) di una superficie rappresentata, ad esempio, da una quadrica, non esiste un vettore [tex]S[/tex], mentre esiste certamente il vettore [tex]\overline{\textup{d}S}[/tex]. In questo caso, utilizzare la (2) mi sembrerebbe scorretto in quanto [tex]\overline{S}[/tex] sarebbe una quantità inesistente.
Voi cosa ne pensate?
Risposte
Penso sia assolutamente irrilevante visto che si tratta di notazione uniche; il $d$ è solamente un simbolo formale in questi contesti.
Grazie per la tua risposta che (oltre ad aprire la "terza via", ovvero quella dell'indifferenza tra i due casi), pone anche l'altro dubbio che ti esprimo con una domanda diretta:
non consideri il [tex]\textup{d}[/tex] una funzione?
Si è parlato e scritto [1] sul fatto di utilizzare il carattere "tondo" (ovvero non l'italico) per scrivere la "d" e sottolineare in questo modo il fatto che si tratta di una funzione che trasforma una variabile nel suo differenziale; trovare ora un autorevole parere diverso è interessante...
Anche se l'argomento può apparire un po' vuoto, credo che in realtà nasconda più di un significato importante.
[1] C. Beccari, F. Canavero, U. Rossetti, P. Valabrega - Saper comunicare, Cenni di scrittura tecnico-scientifica - Politecnico di Torino, 2005, pag. 25, cap. 3.
non consideri il [tex]\textup{d}[/tex] una funzione?
Si è parlato e scritto [1] sul fatto di utilizzare il carattere "tondo" (ovvero non l'italico) per scrivere la "d" e sottolineare in questo modo il fatto che si tratta di una funzione che trasforma una variabile nel suo differenziale; trovare ora un autorevole parere diverso è interessante...
Anche se l'argomento può apparire un po' vuoto, credo che in realtà nasconda più di un significato importante.
[1] C. Beccari, F. Canavero, U. Rossetti, P. Valabrega - Saper comunicare, Cenni di scrittura tecnico-scientifica - Politecnico di Torino, 2005, pag. 25, cap. 3.
Nella teoria dell'integrazione il simbolo $dx$ è solo un simbolo, e la scrittura $\int_E f(x)dx$ è una notazione unica, come $dy/dx$. Il differenziale di una funzione è una cosa diversa.
"Anche se l'argomento può apparire un po' vuoto, credo che in realtà nasconda più di un significato importante."
... l'argomento è tutt'altro che vuoto, e può solo risolversi abolendo una volta per tutte il simbolo $d$, che ha fatto sprecate tempo a tutti e in ogni le latitudini.
ps. Se a suo tempo, George Berkeley, Bishop of Cloyne, fosse intervenuto con una scomunica gli saremmo stati tutti grati (credenti e non).
... l'argomento è tutt'altro che vuoto, e può solo risolversi abolendo una volta per tutte il simbolo $d$, che ha fatto sprecate tempo a tutti e in ogni le latitudini.
ps. Se a suo tempo, George Berkeley, Bishop of Cloyne, fosse intervenuto con una scomunica gli saremmo stati tutti grati (credenti e non).
"GIBI":
ps. Se a suo tempo, George Berkeley, Bishop of Cloyne, fosse intervenuto con una scomunica gli saremmo stati tutti grati (credenti e non).
Questo aneddoto mi è nuovo: di che si tratta?
p.s. scusate l'off topic
Per un non-matematico è piacevole vedere interesse sull'argomento...
Sono molto intrigato dalle affermazioni di Luca (ci possiamo chiamare per nome, vero?). Mi spiego: in alcuni documenti [2] si afferma, giusto a proposito del [tex]\frac{\textup{d}y}{\textup{d}x}[/tex], la non liceità di trattare l'entità come si trattasse di una frazione algebrica. Ora, nel mio uso (spregiudicato) della matematica a fini ingegneristici, io quel [tex]\textup{d}x[/tex] lo muovo di qua e di là del segno di uguaglianza tirandolo sopra e sotto la linea di frazione, proprio come fosse una qualsiasi variabile. Funziona, anche se ogni volta che lo faccio, mi sembra di entrare con gli scarponi in una cristalleria... Dov'è il limite (di liceità, intendo, non matematico)?
Inserisco un esempio per rendere più chiara la mia esposizione: la legge di Faraday recita
[tex]U=-\frac{\textup{d}\Phi}{\textup{d}t}\quad\quad(3)[/tex]
per usarla "al rovescio". La (3) la scrivo come
[tex]\textup{d}\Phi=-U\textup{d}t\quad\quad(4)[/tex]
e quindi mi sento autorizzato a passare all'integrale
[tex]\Phi=-\int _t U\textup{d}t\quad\quad(5)[/tex]
E' lecito e, volendosi spingere ancora oltre, è "matematicamente elegante" oppure è proprio quell'uso improprio della matematica a cui siamo abituati noi, praticoni dei numeri?
[2] P. Bonicatto, L Lussardi - Sulle equazioni differenziali ordinarie a variabili separabili - Dipartimento di matematica, università di Brescia, 2008, pag. 1, cap. 1
Sono molto intrigato dalle affermazioni di Luca (ci possiamo chiamare per nome, vero?). Mi spiego: in alcuni documenti [2] si afferma, giusto a proposito del [tex]\frac{\textup{d}y}{\textup{d}x}[/tex], la non liceità di trattare l'entità come si trattasse di una frazione algebrica. Ora, nel mio uso (spregiudicato) della matematica a fini ingegneristici, io quel [tex]\textup{d}x[/tex] lo muovo di qua e di là del segno di uguaglianza tirandolo sopra e sotto la linea di frazione, proprio come fosse una qualsiasi variabile. Funziona, anche se ogni volta che lo faccio, mi sembra di entrare con gli scarponi in una cristalleria... Dov'è il limite (di liceità, intendo, non matematico)?
Inserisco un esempio per rendere più chiara la mia esposizione: la legge di Faraday recita
[tex]U=-\frac{\textup{d}\Phi}{\textup{d}t}\quad\quad(3)[/tex]
per usarla "al rovescio". La (3) la scrivo come
[tex]\textup{d}\Phi=-U\textup{d}t\quad\quad(4)[/tex]
e quindi mi sento autorizzato a passare all'integrale
[tex]\Phi=-\int _t U\textup{d}t\quad\quad(5)[/tex]
E' lecito e, volendosi spingere ancora oltre, è "matematicamente elegante" oppure è proprio quell'uso improprio della matematica a cui siamo abituati noi, praticoni dei numeri?
[2] P. Bonicatto, L Lussardi - Sulle equazioni differenziali ordinarie a variabili separabili - Dipartimento di matematica, università di Brescia, 2008, pag. 1, cap. 1
Prova a guardare la pagina web di Fioravante Patrone, sezione equazioni differenziali. Lì trovi anche del materiale su "cosa è il dx".
"Questo aneddoto mi è nuovo: di che si tratta? "
Riguarda la polemica tra il Vescovo e i matematici del tempo Newton, Leibniz & C sul 'calcolo infinitesimale', col libello "The Analyst, a Discurse Addressed to an Infidel Mathematician".
Riguarda la polemica tra il Vescovo e i matematici del tempo Newton, Leibniz & C sul 'calcolo infinitesimale', col libello "The Analyst, a Discurse Addressed to an Infidel Mathematician".
"GIBI":
"Questo aneddoto mi è nuovo: di che si tratta? "
Riguarda la polemica tra il Vescovo e i matematici del tempo Newton, Leibniz & C sul 'calcolo infinitesimale', col libello "The Analyst, a Discurse Addressed to an Infidel Mathematician".
Cose che poi sono state messe a posto da Cauchy e dai suoi successori.
"Cose che poi sono state messe a posto da Cauchy e dai suoi successori."
... ne sei proprio convinto?
... ne sei proprio convinto?
Sì, come ogni "buon" analista (o matematico che non si faccia troppi problemi).
Per favore, non sconfiniamo di nuovo nella NSA... Sono discorsi pressoché inutili.
Per favore, non sconfiniamo di nuovo nella NSA... Sono discorsi pressoché inutili.
"bgiorgio":
Inserisco un esempio per rendere più chiara la mia esposizione: la legge di Faraday recita
[tex]U=-\frac{\textup{d}\Phi}{\textup{d}t}\quad\quad(3)[/tex]
per usarla "al rovescio". La (3) la scrivo come
[tex]\textup{d}\Phi=-U\textup{d}t\quad\quad(4)[/tex]
e quindi mi sento autorizzato a passare all'integrale
[tex]\Phi=-\int _t U\textup{d}t\quad\quad(5)[/tex]
Provo a risponderti, ovviamente benvengano correzioni.
in [tex]U=-\frac{\textup{d}\Phi}{\textup{d}t}[/tex] devi pensare [tex]\frac{\textup{d}\Phi}{\textup{d}t}[/tex] a un simbolo che ti esplicita la natura della funzione U, la sua qualità di essere la derivata di $Phi$ rispetto al tempo. E' del tutto identico a scrivere $ DPhi $ o $Phi'$ giusto per capire che è la derivata della funzione rispetto alla variabile tempo.
Per venire alla (4), ricordiamo che il differenziale di una funzione (in una variabile) si scrive fissato che sia un punto in cui essa è derivabile, e prende in argomento valori reali che hanno il significato di "incremento", non la variabile da cui dipende la funzione.
$dPhi_(t_0) : h in R -> dPhi_(t_0) (h) = ((dPhi)/dt)(t_0) h in R$
Se conosci la funzione $((dPhi)/dt)$ , puoi scrivere in ogni punto di derivabilità il differenziale della funzione $Phi$
Infine, bisogna dire circa il passaggio dalla (4) alla (5) che i differenziali (nel senso chiarito sopra) non si integrano. L'integrale è un operatore che opera sulle funzioni.
L'integrazione che ha senso è quella della funzione $((dPhi)/dt)$. Cioè passa direttamente dalla (3) alla (5).
L'insieme di considerazioni che si fanno in fisica del tipo "sommiamo ogni pezzetto $dPhi$ di flusso infinitesimo con l'integrale..." benvengano se aiutano a capire meglio certi concetti, malvengano se implicano un corrispondente uso sbagliato della matematica sulla quale abbiamo pensato di fare affidamento per i nostri modelli.
@Gianluca: per piacere sistema le formule nel tuo ultimo post
Ma c'è un motivo per cui funziona sempre? cioè, essendo che si fanno cose assurde come integrare differenziali ecc ecc, si usano quantità neanche esistenti nell'analisi standard (gli infinitesimi) perché poi funziona?
In ogni caso io sono un fisico, cerco di risolvere le equazioni differenziali senza abusare delle notazioni e utilizzando gli strumenti della matematica per risolvere le equazioni differenziali (variabili separabili ecc ecc). Il problema è che nel corso della mia "carriera" da studente ho incontrato più volte dei problemi che approdavano a equazioni differenziali talmente difficili, che non riuscivo a risolvere senza moltiplicare o dividere per vari infinitesimi... ora non mi vengono in mente, ma per esempio il problema che falco postò in Fisica qualche mese fa è a mio avviso difficilissimo se non impossibile da risolvere usando metodi diversi dal "moltiplico per $dt$"... se ritrovo il post ve lo segnalo.
In ogni caso io sono un fisico, cerco di risolvere le equazioni differenziali senza abusare delle notazioni e utilizzando gli strumenti della matematica per risolvere le equazioni differenziali (variabili separabili ecc ecc). Il problema è che nel corso della mia "carriera" da studente ho incontrato più volte dei problemi che approdavano a equazioni differenziali talmente difficili, che non riuscivo a risolvere senza moltiplicare o dividere per vari infinitesimi... ora non mi vengono in mente, ma per esempio il problema che falco postò in Fisica qualche mese fa è a mio avviso difficilissimo se non impossibile da risolvere usando metodi diversi dal "moltiplico per $dt$"... se ritrovo il post ve lo segnalo.
@ Zkeggia : E' una visione personale, ma il fatto che funziona credo che sia dovuto ad un gioco di simboli. E se cambiamo i simboli non funziona più. I concetti invece sono distaccati da questa metodica. Nel corso di laurea in fisica ci viene fornito un "vademecum" più che un metodo.
Sarebbe interessante vedere se ci sono casi in cui crolla tutto, ad esempio un'equazione differenziale a variabili separabili che non fornisce la soluzione giusta col metodo urang-utang.
Aspetto il problema posto da falco.
Sarebbe interessante vedere se ci sono casi in cui crolla tutto, ad esempio un'equazione differenziale a variabili separabili che non fornisce la soluzione giusta col metodo urang-utang.
Aspetto il problema posto da falco.
https://www.matematicamente.it/forum/ura ... 44124.html
Eccolo qui! Se qualche matematico riesce a impostare l'equazione differenziale senza usare infinitesimi o concetti affini... tanto di cappello!
Eccolo qui! Se qualche matematico riesce a impostare l'equazione differenziale senza usare infinitesimi o concetti affini... tanto di cappello!
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