Forma trigonometrica numero complesso
So che $ tan(t)=-3/-1=3 $. Devo ricavare $ t $. Solitamente per ricavare $ t $ basta fare $ arctan(3) $ però non so continuare !! Come procedo???
Risposte
sapendo che $tan$ è periodica di periodo $pi$, è semplicemente $arctan 3 +k pi, k in ZZ$
ti basta questo o il problema è un altro?
ti basta questo o il problema è un altro?
Mi basta, però sul libro di testo è scritto che se $ x<0 , y<0 $ allora diventa $ arctan(y/x)-pi $
allora vuol dire che è nel contesto di un esercizio diverso, di geometria analitica: $(Delta y)/(Delta x) = m = tan alpha$, cioè il coefficiente angolare di una retta è la tangente dell'angolo che la retta forma con il semiasse positivo delle ascisse.
se hai una retta passante per l'origine, ed un punto su di essa nel terzo quadrante, allora facendo il rapporto $y/x$ trovi la tangente di quell'angolo del terzo quadrante che è uguale alla tangente dell'angolo del primo quadrante che ti restituisce la calcolatrice facendo $tan^(-1)(y/x)=arctan(y/x)$, ma tu devi trovare quello del terzo quadrante: io aggiungerei $pi$ se volessi un angolo del primo giro, ma il libro lo sottrae, dando per buono un angolo "negativo" ma in valore assoluto minore di un angolo piatto.
qual era l'esercizio?
se hai una retta passante per l'origine, ed un punto su di essa nel terzo quadrante, allora facendo il rapporto $y/x$ trovi la tangente di quell'angolo del terzo quadrante che è uguale alla tangente dell'angolo del primo quadrante che ti restituisce la calcolatrice facendo $tan^(-1)(y/x)=arctan(y/x)$, ma tu devi trovare quello del terzo quadrante: io aggiungerei $pi$ se volessi un angolo del primo giro, ma il libro lo sottrae, dando per buono un angolo "negativo" ma in valore assoluto minore di un angolo piatto.
qual era l'esercizio?
Scrivere in forma trigonometrica il numero complesso: $ -1-3i $.
Il numero è scritto in forma algebrica $ x+iy $, quindi $ x=-1, y=-3 $
Il modulo è $ |-1-3i|= sqrt(10) $ ricavo $ tan(t)=y/x=(-3)/(-1)=3 $ .
Poi per ricavare $ t $ faccio $arctan3 $ Però la teoria mi dice che se $ x<0, y<0 $ allora diventa $ arctan(y/x)-pi $ .
Svolgendo i calcoli ottengo $ sqrt10*(cos(arctan(3)-pi)+isin(arctan(3)-pi)) $ Ma la soluzione invece deve essere $ sqrt10*(cos(arctan(3)+pi)+isin(arctan(3)+pi)) $ Per cui hai ragione tu ma quindi ciò che è scritto sul testo è sbagliato !! Ma è strano ! non sono sicurissimo
Il numero è scritto in forma algebrica $ x+iy $, quindi $ x=-1, y=-3 $
Il modulo è $ |-1-3i|= sqrt(10) $ ricavo $ tan(t)=y/x=(-3)/(-1)=3 $ .
Poi per ricavare $ t $ faccio $arctan3 $ Però la teoria mi dice che se $ x<0, y<0 $ allora diventa $ arctan(y/x)-pi $ .
Svolgendo i calcoli ottengo $ sqrt10*(cos(arctan(3)-pi)+isin(arctan(3)-pi)) $ Ma la soluzione invece deve essere $ sqrt10*(cos(arctan(3)+pi)+isin(arctan(3)+pi)) $ Per cui hai ragione tu ma quindi ciò che è scritto sul testo è sbagliato !! Ma è strano ! non sono sicurissimo
sì, me ne sarei dovuta accorgere dal titolo, o forse lo hai modificato?
ti posso confermare che $arctan$ di un valore positivo ti restituisce un valore $in (0,pi/2)$, dunque se vuoi un angolo del terzo quadrante, primo giro, devi sommare $pi$. però mi dici che il risultato è come ti ho detto io, e quel risultato è sul libro, come fai a dire che il libro ti dice "altro"?
ti posso confermare che $arctan$ di un valore positivo ti restituisce un valore $in (0,pi/2)$, dunque se vuoi un angolo del terzo quadrante, primo giro, devi sommare $pi$. però mi dici che il risultato è come ti ho detto io, e quel risultato è sul libro, come fai a dire che il libro ti dice "altro"?
Il titolo l'ho modificato. Il risultato è sugli esercizi messi online dal prof. Il libro invece è scritto dal prof . Ma forse non ho capito bene la teoria.
considerando che complessivamente $arctan$ ha valori in $(-pi/2,+pi/2)$, la "teoria" dirà:
se $x>0,y>0$, l'angolo lo trovi direttamente: $arctan (y/x)=theta$;
se $x>0,y<0$, arctan ti dà il valore nel primo quadrante negativo, se vuoi ricondurti al quarto quadrante devi aggiungere $2pi$: $arctan(y/x)=theta -2pi$
se $x<0,y>0$ sei nel secondo quadrante, mentre arctan ti restituisce un angolo del primo quadrante negativo, per cui devi aggiungere $pi$: $arctan(y/x)=theta-pi$
se $x<0,y<0$, sei nel terzo quadrante, mentre arctan ti restituisce un angolo del primo quadrante, per cui devi aggiungere $pi$: $arctan(x/y)=theta-pi$
sicuramente tra aggiungere e sottrarre c'è stata un po' di confusione sul fatto che potesse essere riferito all'angolo o all'arcotangente.
fammi sapere se è così sul libro e se ho chiarito i tuoi dubbi. ciao.
se $x>0,y>0$, l'angolo lo trovi direttamente: $arctan (y/x)=theta$;
se $x>0,y<0$, arctan ti dà il valore nel primo quadrante negativo, se vuoi ricondurti al quarto quadrante devi aggiungere $2pi$: $arctan(y/x)=theta -2pi$
se $x<0,y>0$ sei nel secondo quadrante, mentre arctan ti restituisce un angolo del primo quadrante negativo, per cui devi aggiungere $pi$: $arctan(y/x)=theta-pi$
se $x<0,y<0$, sei nel terzo quadrante, mentre arctan ti restituisce un angolo del primo quadrante, per cui devi aggiungere $pi$: $arctan(x/y)=theta-pi$
sicuramente tra aggiungere e sottrarre c'è stata un po' di confusione sul fatto che potesse essere riferito all'angolo o all'arcotangente.
fammi sapere se è così sul libro e se ho chiarito i tuoi dubbi. ciao.
Sul libro dice che per i numeri complessi rappresentati da punti del terzo quadrante cioe quelli per cui si ha $ x<0 $ e $ y0 $ e di conseguenza $ arctan(y/x)+pi $ è un argomento di z (dove z è il numero complesso) compreso tra $ pi $ e $ (3/2)pi $. Se da tale valore si sottrae $ 2pi $, cioè si considera l'argomento $ arctan(y/x)+pi-2pi=arctan(y/x)-pi $ si ottiene il risultato corretto. E poi c'è questo schemino:
$ Arg(x+iy)={(arctan(y/x) -> x>0),(sgn(y)*pi/2 -> x=0),(arctan(y/x)+pi -> (x<0)e(y>=0)),(arctan(y/x)-pi ->(x<0)e(y<0)):}
$ Arg(x+iy)={(arctan(y/x) -> x>0),(sgn(y)*pi/2 -> x=0),(arctan(y/x)+pi -> (x<0)e(y>=0)),(arctan(y/x)-pi ->(x<0)e(y<0)):}
perfetto, quello che dice prima coincide con quello che ti ho scritto io (basta risolvere rispetto a $theta$ le equazioni del mio post),
poi però ti specifica che vuole soluzioni non nel primo giro positivo ma $in (-pi, +pi]$, per cui ti consiglia,
anziché trovarti prima la soluzione del primo giro positivo e poi togliere $2pi$ per arrivare a quella nell'intervallo suddetto, fai un passaggio in meno scrivendo subito $-pi$ anziché prima $+pi$ e poi $-2pi$. ok?
ti lascio questo link: ho cercato da varie parti, ma forse il collegamento non è ok e quindi non ho trovato di meglio.
http://www.sandroronca.it/matematica/co ... ssi-1.html
poi però ti specifica che vuole soluzioni non nel primo giro positivo ma $in (-pi, +pi]$, per cui ti consiglia,
anziché trovarti prima la soluzione del primo giro positivo e poi togliere $2pi$ per arrivare a quella nell'intervallo suddetto, fai un passaggio in meno scrivendo subito $-pi$ anziché prima $+pi$ e poi $-2pi$. ok?
ti lascio questo link: ho cercato da varie parti, ma forse il collegamento non è ok e quindi non ho trovato di meglio.
http://www.sandroronca.it/matematica/co ... ssi-1.html
per cui se volessi rappresentare l'angolo in forma convessa cioè positivo dovrei aggiungere $ pi $ altrimenti dovrei sottrarre . E' indifferente!!! Grazie mille!!
prego!
attento però ... convesso non significa positivo, ma, con qualche piccola eccezione, "minore di 180°". forse per questo si preferisce usare i valori negativi ai "concavi"...
attento però ... convesso non significa positivo, ma, con qualche piccola eccezione, "minore di 180°". forse per questo si preferisce usare i valori negativi ai "concavi"...
Per cui nel mio caso diventerebbe:
angolo convesso : $ arctan3+pi $
angolo concavo : $ arctan3-pi $ (oppure $ -arctan3-pi $?????) che CONFUSIONE !!
angolo convesso : $ arctan3+pi $
angolo concavo : $ arctan3-pi $ (oppure $ -arctan3-pi $?????) che CONFUSIONE !!
convesso e concavo ha senso solo per valori positivi e minori di 360°: convesso se in $[0,pi]$, concavo se in $(pi,2pi)$.
$arctan3 in (0,pi/2) -> {[arctan3+pi in (pi; 3/2pi)," dunque concavo"], [arctan3-pi in (-pi; -pi/2)," dunque negativo"] :}$
ma $|arctan3-pi|=pi-arctan3$ è convesso, solo che la tangente di quest'angolo non è la tangente del tuo angolo
$arctan3 in (0,pi/2) -> {[arctan3+pi in (pi; 3/2pi)," dunque concavo"], [arctan3-pi in (-pi; -pi/2)," dunque negativo"] :}$
ma $|arctan3-pi|=pi-arctan3$ è convesso, solo che la tangente di quest'angolo non è la tangente del tuo angolo
io ti ringrazio per la pazienza e il tempo che hai impiegato per cercare di farmi capire tale esercizio ma purtroppo non riesco a fissare i concetti !!! Lascio perdere questo esercizio perchè ci sto perdendo troppo tempo e vado avanti anche perchè ho altri mille punti interrogativi su altri argomenti !!! Di nuovo grazie
prego!
però è un peccato che tu dica così. le definizioni di concavo e convesso risalgono alla geometria euclidea e c'entrano poco con questi contenuti.
non usare termini di cui non conosci l'esatto significato. per il resto, la conclusione tratta nel tuo penultimo post è corretta.
aggiungi o togli $pi$ o multipli a seconda del quadrante a cui intendi riferirti.
nel caso specifico, il terzo quadrante positivo è uguale al secondo quadrante negativo, e, dato che arctan ti riporta al primo quadrante positivo, se vuoi un valore positivo aggiungi $pi$, mentre se vuoi un valore che in valore assoluto sia minore di $pi$ allora togli $pi$.
buono studio!
però è un peccato che tu dica così. le definizioni di concavo e convesso risalgono alla geometria euclidea e c'entrano poco con questi contenuti.
non usare termini di cui non conosci l'esatto significato. per il resto, la conclusione tratta nel tuo penultimo post è corretta.
aggiungi o togli $pi$ o multipli a seconda del quadrante a cui intendi riferirti.
nel caso specifico, il terzo quadrante positivo è uguale al secondo quadrante negativo, e, dato che arctan ti riporta al primo quadrante positivo, se vuoi un valore positivo aggiungi $pi$, mentre se vuoi un valore che in valore assoluto sia minore di $pi$ allora togli $pi$.
buono studio!
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