Forma trigonometrica numeri complessi

[simki]

Ciao a tutti, dalla seguente equazione con numeri complessi \( iz^3 = \bar z\) , risolvendola in forma trigonometrica arrivo al seguente sistema
$\{( sen(-\theta)=cos(3\theta)), (cos(-\theta)=-sen(3\theta)) :}$
quindi
$\{( sen(\alpha)=cos(3\theta)), (cos(\alpha)=-sen(3\theta)) :}$
Come posso trovare l'angolo $\theta$?
Il mio professore lo ha trovato in $\alpha=3\theta+\pi/2$ ma non capisco come ha fatto.
Aiutatemi, ci ho messo 20 minuti solo per scrivere tutto ciò

[pilloeffe]

Ciao simki,

Osserverei che senz'altro $z = 0 $ è una soluzione. Poi userei la forma esponenziale $z = \rho e^{i \theta} $, invece che la forma trigonometrica, tenendo presente che $ i = e^{i \pi/2} $ e che $z \bar z = |z|^2 = \rho^2 $...

[simki]

Quindi arrivo a $-\theta=pi/2+3\theta$ è corretto? poi come posso proseguire? Lascio theta a destra e il resto a sinistra? Intanto ti ringrazio per aver risposto

[pilloeffe]

"simki":Intanto ti ringrazio per aver risposto

Prego!

"simki":[...]è corretto?

Temo di no... Allora, moltiplicando tutto per $z = \rho e^{i \theta} $, $ z \ne 0 $, si ha:

$iz^4 = z\bar z = |z|^2 = \rho^2 $
$i\rho^4 e^{i4\theta} = \rho^2 e^{i0} $
$e^{i \pi/2} \rho^4 e^{i4\theta} = \rho^2 e^{i0} $
$ \rho^4 e^{i(4\theta + \pi/2)} = \rho^2 e^{i0} $
$ \rho^2 e^{i(4\theta + \pi/2)} = e^{i0} $

avendo escluso $\rho^2 = 0 \implies \rho = 0 \implies z = 0 $ (che comunque è una soluzione dell'equazione iniziale proposta), per cui resta $\rho^2 = 1 \implies \rho = 1 $ e $4\theta + \pi/2 = 0 + 2k\pi \implies \theta = - \pi/8 + k\pi/2 $, $k = 0, 1, 2, 3 $ (da $k = 4 $ in poi le soluzioni si ripetono).
In definitiva le $5$ soluzioni dell'equazione proposta sono le seguenti:

$z_1 = 0 $
$z_2 = e^{- i\pi/8} $
$z_3 = e^{i frac{3\pi}{8}} $
$z_4 = e^{i frac{7\pi}{8}} $
$z_5 = e^{i frac{11\pi}{8}} $

ove $z_{2,3,4,5} $ sono i vertici di un quadrato di lato $ sqrt{2} $ centrato in $z_1 = 0 $ avente la diagonale di lunghezza $2$ ruotata di $\pi/8 $ verso destra rispetto all'asse $y$.