Forma quadratica hessiana ed estremi
Ciao, amici! Sono di nuovo qua a rompere...
So che se \(f\in C^2(A)\) e \(\boldsymbol x\in A\subset\mathbb{R}^n\) è un suo punto critico, detta \(q(\boldsymbol h)=H_{f} (\boldsymbol{x})\boldsymbol{h·h}\) la forma quadratica associata alla hessiana, si ha che
a) se $q$ è definita positiva, \(\boldsymbol x\) è di minimo stretto;
b) se $q$ è definita negativa, \(\boldsymbol x\) è di massimo stretto;
c) se $q$ è semidefinita positiva, \(\boldsymbol x\) non è di massimo, ma può solo essere di minimo o di sella;
d) se $q$ è semidefinita negativa, \(\boldsymbol x\) non è di minimo, ma può solo essere di massimo o di sella;
e) se $q$ è indefinita, \(\boldsymbol x\) è di sella.
Riguardo ai casi (c) e (d), direi che nulla vieti che, se \(\boldsymbol x\) è di minimo (rispettivamente massimo nel caso (d)), sia di minimo stretto (rispettivamente, per il caso (d), di massimo stretto), o no?
$+oo$ grazie a tutti!
So che se \(f\in C^2(A)\) e \(\boldsymbol x\in A\subset\mathbb{R}^n\) è un suo punto critico, detta \(q(\boldsymbol h)=H_{f} (\boldsymbol{x})\boldsymbol{h·h}\) la forma quadratica associata alla hessiana, si ha che
a) se $q$ è definita positiva, \(\boldsymbol x\) è di minimo stretto;
b) se $q$ è definita negativa, \(\boldsymbol x\) è di massimo stretto;
c) se $q$ è semidefinita positiva, \(\boldsymbol x\) non è di massimo, ma può solo essere di minimo o di sella;
d) se $q$ è semidefinita negativa, \(\boldsymbol x\) non è di minimo, ma può solo essere di massimo o di sella;
e) se $q$ è indefinita, \(\boldsymbol x\) è di sella.
Riguardo ai casi (c) e (d), direi che nulla vieti che, se \(\boldsymbol x\) è di minimo (rispettivamente massimo nel caso (d)), sia di minimo stretto (rispettivamente, per il caso (d), di massimo stretto), o no?
$+oo$ grazie a tutti!
Risposte
Ciao, per il secondo teorema di Debreu una forma quadratica è semidefinita positiva se i minori principali sono maggiori o uguali a zero e il determinante è uguale a 0. Semidefinita negativa invece quando i minori principali pari sono maggiori o uguali a 0 e quelli dispari minori o uguali a 0 e il determinante è uguale a 0.
Per quanto ne so io in questo caso si parla rispettivamente solo di minimo locale e di massimo locale.
Per quanto ne so io in questo caso si parla rispettivamente solo di minimo locale e di massimo locale.
$+oo$ grazie, Francesco!!!! Il mio dubbio è se si possano riformulare le implicazioni (a) e (b) così:
"a) $q$ è definita positiva se e solo se \(\boldsymbol x\) è di minimo stretto;
b) $q$ è definita negativa se e solo se \(\boldsymbol x\) è di massimo stretto."
Direi di no perché credo che, se $q$ è semidefinita positiva (rispettivamente negativa), \(\boldsymbol x\) possa essere o di minimo (rispettivamente di massimo) stretto, o di minimo (rispettivamente di massimo) non stretto, oppure di sella (tre possibilità, diciamo)... Giusto?
Grazie di cuora ancora a te e a chiunque altro voglia intervenire!!!!
"a) $q$ è definita positiva se e solo se \(\boldsymbol x\) è di minimo stretto;
b) $q$ è definita negativa se e solo se \(\boldsymbol x\) è di massimo stretto."
Direi di no perché credo che, se $q$ è semidefinita positiva (rispettivamente negativa), \(\boldsymbol x\) possa essere o di minimo (rispettivamente di massimo) stretto, o di minimo (rispettivamente di massimo) non stretto, oppure di sella (tre possibilità, diciamo)... Giusto?
Grazie di cuora ancora a te e a chiunque altro voglia intervenire!!!!
Ah ora ho capito, be credo che una implichi l'altra.
Credo che il fatto di essere di minimo/massimo stretto sia condizione sufficiente.
Però non so se è giusto usare "se e solo se". Magari aspetta il consiglio di qualcuno più esperto.
Credo che il fatto di essere di minimo/massimo stretto sia condizione sufficiente.
Però non so se è giusto usare "se e solo se". Magari aspetta il consiglio di qualcuno più esperto.
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