Forma quadratica

[valesyle92]

Una funzione convessa è la forma quadratica associata alla sua matrice Hessiana ? ossia f(x) =( Ax,x) con A la matrice Hessiana ?

[dissonance]

Non per forza. Prendi per esempio $f(x)=x^4$ in dimensione uno, oppure $f(x, y)=x^4+y^4$ in dimensione due. Del resto, se tutte le funzioni convesse fossero forme quadratiche il concetto di "funzione convessa" non servirebbe a niente.

[valesyle92]

quindi una funzione convessa si riconosce dalla matrice Hessiana diciamo?

[dissonance]

Se è due volte derivabile, si. Altrimenti tocca inventarsi qualcos'altro per riconoscerla. Per esempio la funzione $f(x)=|x|$ in dimensione uno è convessa ma non ha la derivata seconda (e se è per questo non ha neanche la derivata prima).

[valesyle92]

ok e se so che e' una forma quadratica semi positiva ?allora so che e' convessa giusto?

[dissonance]

Se la tua forma quadratica è \(f(\mathbb{x})=A\mathbb{x}\cdot \mathbb{x}\) per una matrice simmetrica $A$, allora la matrice Hessiana di $f$ è proprio $A$ (guarda caso). Questo è molto semplice da dimostrare, basta fare il conto, è istruttivo. Allora una forma quadratica è convessa se e solo se essa è semidefinita positiva e strettamente convessa se e solo se essa è strettamente definita positiva.

In realtà tutto ciò si può dimostrare direttamente sulla forma quadratica, senza minimamente passare dalle matrici Hessiane. Ma forse questa osservazione sarà istruttiva.

[valesyle92]

ok grazie mille dissonance!! Grande! ...ancora una cosa ma se io ho una forma quadratica del tipo :
f(x,y) = x^2 + y^2 vedo subito che è semi-definita positiva senza guardare l'hessiana....in alcuni casi quindi si vede subito?

[Noisemaker]

quella forma quadretica li però è definita positiva, non semidefinita ...Infatti assume valori sempre non negativi e si annulla solo nell’origine, quindi è positiva in qualunque punto diverso dall’origine.

[Noisemaker]

ricorada che le forme quadratiche si possono classificare come segue: detta $Q(X)$ la forma quadratica nelle variabili $X=x_1,x_2,...,x_n,$

[*:gog95lt3] una forma quadratica è definita positiva se essa assume costantemente valori positivi per qualunque $n-$pla di valori reali, non tutti nulli, attribuiti alla variabili $x_1,x_2,...,x_n,$ cioè
\begin{align*}
Q(X)>0,\quad\forall\,\,X\ne{\bf 0;}
\end{align*} [/*:m:gog95lt3]
[*:gog95lt3] una forma quadratica è semidefinita positiva se essa assume costantemente valori positivi o il valore zero per qualunque $n-$pla di valori reali, non tutti nulli, attribuiti alla variabili $x_1,x_2,...,x_n,$ cioè
\begin{align*}
Q(X)\ge 0\quad \forall\,\, X, \quad\mbox{ed esiste} \quad X\ne{\bf 0} \quad\mbox{tale che}\quad Q(X) = 0;
\end{align*}
[/*:m:gog95lt3][*:gog95lt3] una forma quadratica è definita negativa se essa assume costantemente valori negativi per qualunque $n-$pla di valori reali, non tutti nulli, attribuiti alla variabili $x_1,x_2,...,x_n,$ cioè
\begin{align*}
Q(X)<0,\quad\forall\,\,X\ne{\bf 0;}
\end{align*}
[/*:m:gog95lt3][*:gog95lt3] una forma quadratica è semidefinita negativa se essa assume costantemente valori negativi o il valore zero per qualunque $n-$pla di valori reali, non tutti nulli, attribuiti alla variabili $x_1,x_2,...,x_n,$ cioè
\begin{align*}
Q(X)\le 0\quad \forall\,\, X, \quad\mbox{ed esiste} \quad X\ne{\bf 0} \quad\mbox{tale che}\quad Q(X) = 0;
\end{align*}
[/*:m:gog95lt3][*:gog95lt3] una forma quadratica è indefinita se assume sia valori positivi sia valori negativi, cioè
\begin{align*}
\mbox{ esiste} \quad X,Y\ne{\bf 0} \quad\mbox{tali che}\quad Q(X) >0\quad\mbox{e}\quad Q(Y) <0.
\end{align*}
[/*:m:gog95lt3][/list:u:gog95lt3]
Qualche commento: per quanto riguarda le forme quadratiche definite, cioè i casi $1),2),$ dobbiamo escludere il vettore nullo poichè in $O$ la forma vale $0;$ nelle forme semidefinite, si richiede esplicitamente che mantengano sempre lo stesso segno e che si annullino in modo non banale, cioè in qualche vettore diverso da $O.$ Le forme indefinite sono quelle che possono cambiare segno, cioè assumere sia segno positivo sia segno negativo.

[valesyle92]

quindi quella forma quadratica è strettamente convessa ! giusto?? Grazie mille anche a te Noisemaker!!! :)

[Noisemaker]

ecccerto!