Forma indeterminata limite

[tianigel]

$\lim_{n \to \0^+}x(2logx-log^2x)
è una forma indeterminata $0 (-\infty)$. Quello che mi chiedo è se si può risolvere senza l'Hôpital, che io non so ancora usare. Grazie

[ciampax]

Certo che puoi risolverlo senza de l'Hopital, basta un confronto di infiniti e infinitesimi. Ti suggerisco di porre [tex]$t=\log x$[/tex]: in tal modo [tex]$t\to -\infty$[/tex] e il limite che viene fuori dovrebbe risultare più "malleabile".

[tianigel]

Confrontando gli infiniti in parentesi risulta che $log^2x$ è infinito di ordine superiore rispetto a $2logx$, per questo $2logx-log^2x$ tende a $-\infty$. Cos'altro si può fare?

[ciampax]

Questo ti dice che

[tex]$x(2\log x-\log^2 x)\sim -x\log^2 x$[/tex]

Ora puoi usare questo limite notevole: [tex]$\lim_{x\to 0^+} x^\alpha\cdot \log^\beta x=0,\ \forall \alpha,\beta>0$[/tex]

[Gi81]

Tieni presente che i polinomi (in questo caso $x$) dominano sui logaritmi

[tianigel]

grazie, avevo dimenticato quel limite notevole. Quindi in generale si possono fare confronti anche fra infiniti e infinitesimi, non solo separatamente (solo fra infiniti o solo fra infinitesimi)?

[ciampax]

"tianigel":grazie, avevo dimenticato quel limite notevole. Quindi in generale si possono fare confronti anche fra infiniti e infinitesimi, non solo separatamente (solo fra infiniti o solo fra infinitesimi)?

Certo. L'importante è che i confronti che usi abbiano senso. Ad esempio sai che [tex]$\sin x\sim x,\ x\to 0$[/tex], ma se avessi un limite per [tex]$x\to \pi$[/tex] non potresti più affermare questa cosa.