Forma indeterminata con sviluppo in serie
$ \lim_{x \rightarrow \infty}[\root(4)((x-2)(x-3)^3)-x ] $
Salve, devo risolvere questo limite, io ho provato con la razionalizzazione, ma Wolfram usa uno sviluppo in serie.
Otteniamo due valori diversi.
Come si deve risolvere ?
Grazie a chi mi aiuterà.
Salve, devo risolvere questo limite, io ho provato con la razionalizzazione, ma Wolfram usa uno sviluppo in serie.
Otteniamo due valori diversi.
Come si deve risolvere ?
Grazie a chi mi aiuterà.
Risposte
Posta i conti che hai fatto, si guarda se sono giusti.
Ciao silverwings,
Per quanto mi secchi ammetterlo, anche a me risulta $-11/4 $ come a WolframAlpha...
Beh, vedo almeno un paio di modi semplici, scrivendolo nella forma equivalente seguente:
$ \lim_{x \to +\infty}[\root[4]{(x-2)(x-3)^3}-x] = \lim_{x \to +\infty}[\root(4)((x-2)(x-3)^3)-\root[4]{x^4}] $
Scritto nella prima forma calcolerei quanto compare sotto radice, porterei fuori dalla radice $x^4 $, raccoglierei $x$ e poi farei uso del limite notevole $\lim_{f(x) \to 0} \frac{[1 + f(x)]^a - 1}{f(x)} = a $
Nella seconda forma userei il prodotto notevole somma per differenza:
$ a - b = (\root[4]{a} - \root[4]{b})(\root[4]{a} + \root[4]{b})(sqrt a + sqrt b) $
"silverwings":
io ho provato con la razionalizzazione, ma Wolfram usa uno sviluppo in serie.
Otteniamo due valori diversi.
Per quanto mi secchi ammetterlo, anche a me risulta $-11/4 $ come a WolframAlpha...
"silverwings":
Come si deve risolvere ?
Beh, vedo almeno un paio di modi semplici, scrivendolo nella forma equivalente seguente:
$ \lim_{x \to +\infty}[\root[4]{(x-2)(x-3)^3}-x] = \lim_{x \to +\infty}[\root(4)((x-2)(x-3)^3)-\root[4]{x^4}] $
Scritto nella prima forma calcolerei quanto compare sotto radice, porterei fuori dalla radice $x^4 $, raccoglierei $x$ e poi farei uso del limite notevole $\lim_{f(x) \to 0} \frac{[1 + f(x)]^a - 1}{f(x)} = a $
Nella seconda forma userei il prodotto notevole somma per differenza:
$ a - b = (\root[4]{a} - \root[4]{b})(\root[4]{a} + \root[4]{b})(sqrt a + sqrt b) $
Ciao pilloeffe
io avevo risolto con la razionalizzazione:
Ho proceduto così:
$ \lim_{x \rightarrow \infty}[\root(4)((x-2)(x-3)^3)-x ] $
=$ \lim_{x \rightarrow \infty}[\root(4)((x-2)(x-3)^3)-x ] *\frac { [\root(4)((x-2)^3(x-3))+x ]}{[\root(4)((x-2)^3(x-3))+x ]} $
In questo modo ottengo:
$ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac { [\root(4)((x-2)^4(x-3)^4)-x^2 ]}{[\root(4)((x-2)^3(x-3))+x ]}$
e poi:
$=\frac {-5x+6}{[\root(4)((x-2)^3(x-3))+x ]}$
ora passando al limite, al denominatore poichè ho radice quarta di un polinomio di quarto grado, mi resta solo x che sommata a quella fuori fa 2x.
Per cui mi ritrovo:
$ \lim_{x \rightarrow \infty}[\root(4)((x-2)(x-3)^3)-x ] $
$=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac {-5x+6}{[\root(4)((x-2)^3(x-3))+x ]} $
$=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac {-5x+6}{2x}=-5/2$
Dove sta il mio errore ?
Aiutatemi per favore.
io avevo risolto con la razionalizzazione:
Ho proceduto così:
$ \lim_{x \rightarrow \infty}[\root(4)((x-2)(x-3)^3)-x ] $
=$ \lim_{x \rightarrow \infty}[\root(4)((x-2)(x-3)^3)-x ] *\frac { [\root(4)((x-2)^3(x-3))+x ]}{[\root(4)((x-2)^3(x-3))+x ]} $
In questo modo ottengo:
$ \lim_{x \rightarrow \infty}\frac { [\root(4)((x-2)^4(x-3)^4)-x^2 ]}{[\root(4)((x-2)^3(x-3))+x ]}$
e poi:
$=\frac {-5x+6}{[\root(4)((x-2)^3(x-3))+x ]}$
ora passando al limite, al denominatore poichè ho radice quarta di un polinomio di quarto grado, mi resta solo x che sommata a quella fuori fa 2x.
Per cui mi ritrovo:
$ \lim_{x \rightarrow \infty}[\root(4)((x-2)(x-3)^3)-x ] $
$=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac {-5x+6}{[\root(4)((x-2)^3(x-3))+x ]} $
$=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac {-5x+6}{2x}=-5/2$
Dove sta il mio errore ?
Aiutatemi per favore.
Hai sbagliato a (de)razionalizzare.
Prima ero di fretta, ora ti posso dire più nello specifico: sbagli quando dici $(\root{4}((x-2)(x-3)^3)-x)(\root{4}((x-2)^3(x-3))+x)=\root{4}((x-2)^4(x-3)^4)-x^2$.
otta96:
Prima ero di fretta, ora ti posso dire più nello specifico: sbagli quando dici
$(\root{4}((x-2)(x-3)^3)-x)(\root{4}((x-2)^3(x-3))+x)=\root{4}((x-2)^4(x-3)^4)-x^2$
Ciao otta96.
Puoi dirmi allora il modo corretto di razionalizzare !!
Grazie.
"silverwings":
Puoi dirmi allora il modo corretto di razionalizzare !!
Scusa silverwings, ma te l'ho già scritto qualche post fa:
"pilloeffe":
Nella seconda forma userei il prodotto notevole somma per differenza:
$ a - b = (\root[4]{a} - \root[4]{b})(\root[4]{a} + \root[4]{b})(sqrt a + sqrt b)$
Quindi ovviamente
$ \root[4]{a} - \root[4]{b} = (a - b)/((\root[4]{a} + \root[4]{b})(sqrt a + sqrt b))$
Nel tuo caso $a := (x-2)(x-3)^3 $ e $b = x^4 $
A quanto pare non leggi attentamente i post di chi ti risponde...
Ciao pilloeffe.
Tutto chiaro ora.
Ho capito.
Grazie mille !!
Tutto chiaro ora.
Ho capito.
Grazie mille !!
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