Forma indeterminata ?
Ciao ragazzi, risolvendo il limite in questione mi sorge un dubbio .. sono caduto in una forma indeterminata oppure è corretto pensare che il limite tenda a 0 ?
$lim_(x->0) sinx*lnx =lim_(x->0)(xsinxlnx)/x=lim_(x->0)xlnx$
considerato che il ln di zero non esiste penso di essere caduto in una forma indeterminata .. come posso fare ? Posso ricorrere alle regole sugli infinitesimi ?
Grazie, ciao.
quinto.
$lim_(x->0) sinx*lnx =lim_(x->0)(xsinxlnx)/x=lim_(x->0)xlnx$
considerato che il ln di zero non esiste penso di essere caduto in una forma indeterminata .. come posso fare ? Posso ricorrere alle regole sugli infinitesimi ?
Grazie, ciao.
quinto.
Risposte
Per prima cosa il limite esiste solo per $x\rightarrow 0^{+}$.
Per $x\rightarrow 0^{+}$ il seno tende a zero, il logaritmo tende a $-\infty$, quindi quella ottenuta è una forma indeterminata.
L'ultimo passaggio che hai fatto non ha senso: non puoi applicare il limite a $\frac{\sin(x)}{x}$ e non considerare $x\ln(x)$.
Un modo semplice per risolverlo, almeno a occhio, è quello di portare il seno a denominatore ed usare de l'Hopital.
Prova a fare così, se hai problemi chiedi pure.
Per $x\rightarrow 0^{+}$ il seno tende a zero, il logaritmo tende a $-\infty$, quindi quella ottenuta è una forma indeterminata.
L'ultimo passaggio che hai fatto non ha senso: non puoi applicare il limite a $\frac{\sin(x)}{x}$ e non considerare $x\ln(x)$.
Un modo semplice per risolverlo, almeno a occhio, è quello di portare il seno a denominatore ed usare de l'Hopital.
Prova a fare così, se hai problemi chiedi pure.
avevo pensato questa soluzione perchè $lim_(x->0)sinx/x=1$ (limite notevole)
Così ottengo $lim_(x->0)1*x*lnx$ da questo punto in avanti pensavo di utilizzare le regole sugli infinitesimi, se possibile .. che ne dici ?
grazie, ciao.
Così ottengo $lim_(x->0)1*x*lnx$ da questo punto in avanti pensavo di utilizzare le regole sugli infinitesimi, se possibile .. che ne dici ?
grazie, ciao.
Il passaggio è corretto, ma se mostri che $x logx$ ammette limite.
In questo caso torna lo stesso ma non sempre va bene, ti faccio un semplicissimo controesempio:
come ben sai $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x}=1$, ma proviamo a risolverlo considerando una parte alla volta:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}x*\frac{1}{x}=$
In questo limite ora si ha il prodotto di due termini, applichiamo il limite al primo termine, ovvero $\lim_{x\rightarrow 0}x=0$, e sostituendo nel limite iniziale si ottiene:
$\lim_{x\rightarrow 0}0*\frac{1}{x}=0$, che ovviamente è sbagliato.
Quello che puoi fare è calcolarti a parte $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}xln(x)$ e puoi applicare il limite contemporaneamente sia al termine $\frac{sin(x)}{x}$ sia al termine $x\ln(x)$
come ben sai $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x}=1$, ma proviamo a risolverlo considerando una parte alla volta:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}x*\frac{1}{x}=$
In questo limite ora si ha il prodotto di due termini, applichiamo il limite al primo termine, ovvero $\lim_{x\rightarrow 0}x=0$, e sostituendo nel limite iniziale si ottiene:
$\lim_{x\rightarrow 0}0*\frac{1}{x}=0$, che ovviamente è sbagliato.
Quello che puoi fare è calcolarti a parte $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}xln(x)$ e puoi applicare il limite contemporaneamente sia al termine $\frac{sin(x)}{x}$ sia al termine $x\ln(x)$
hai ragione, ho capito il problema .. ma come risolvere $lim_(x->0)xlnx$ senza Hospital ? come posso mostrare che il limite esiste ?
Prova a sostituire $x=1/t$, e tieni conto che $x -> 0^+$.
in questo modo ottengo :
$x=1/t
$lim_(t->oo) (1/t)*ln(1/t)=0*0$ ora ho dimostrato che i limiti esistono e valgono 0 ma penso si tratti ancora di una forma indet.
il risultato completo (includendo $lim_(x->0) sinx/x$) risulterebbe : 1*0*0 =0 secondo me è ancora indet. sbaglio ?
$x=1/t
$lim_(t->oo) (1/t)*ln(1/t)=0*0$ ora ho dimostrato che i limiti esistono e valgono 0 ma penso si tratti ancora di una forma indet.
il risultato completo (includendo $lim_(x->0) sinx/x$) risulterebbe : 1*0*0 =0 secondo me è ancora indet. sbaglio ?
No, attenzione, per $t\rightarrow +\infty$ si ha $\ln(\frac{1}{t})\rightarrow -\infty$.
Poi $0\cdot 0$ non sarebbe stata forma indeterminata...
Prova a osservare che $\ln(\frac{1}{t})=\ln((t)^{-1})$...
Poi $0\cdot 0$ non sarebbe stata forma indeterminata...
Prova a osservare che $\ln(\frac{1}{t})=\ln((t)^{-1})$...
accidenti hai proprio ragione !!! non so come ringraziarti !!!
un' ultima curiosità .. ora che hai svelato l'arcano ho scoperto che alcuni libri riportano come limite notevole :
$lim_(x->0^(+)) x^alogx=0$ con a>0
probabilmente non sarà uno dei limiti notevoli più comuni, ma come può un testo universitario non riportarlo ? ..mah..
ti ringrazio ancora per il tuo prezioso aiuto, ciao !
quinto.
un' ultima curiosità .. ora che hai svelato l'arcano ho scoperto che alcuni libri riportano come limite notevole :
$lim_(x->0^(+)) x^alogx=0$ con a>0
probabilmente non sarà uno dei limiti notevoli più comuni, ma come può un testo universitario non riportarlo ? ..mah..
ti ringrazio ancora per il tuo prezioso aiuto, ciao !
quinto.
Più che essere un limite notevole, quella scrittura informa del fatto che la funzione potenza va $0$ più velocemente di quanto il logaritmo vada a $-oo$ per $xto0$... un risultato analogo lo ottenevi se, anziché $x$, elevavi il logaritmo ad $a$
Si può sintetizzare in questo modo: $lim_(xto0_+) x^alog^b(x)=0$ $AA a,b > 0$
Si può sintetizzare in questo modo: $lim_(xto0_+) x^alog^b(x)=0$ $AA a,b > 0$
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