Forma indeterminata
Salve, non riesco a risolvere il seguente limite: $lim_{n->oo} (n×(sqrt(pi^2 +e/n)-pi)$. È una forma indeterminata $0*oo$ ma non riesco mai a capire quali passaggi algebrici devo fare per risolvere l'indeterminatezza. Mi basta solo un input per capire come comportarmi in questi casi, non vi chiedo la risoluzione completa.
Risposte
Vabbè il limite fa $e/(2pi)$. Dovrò farne almeno 100 di questi per capire come comportarmi ogni volta.
\( \pi \sqrt{1 + e/(\pi^2 n)} \sim \pi(1 + e/(2 \pi^2 n)) + O(1/n^2) \) per \(n \to \infty\).
Io ho razionalizzato perché è uno dei pochi metodi che finora ci hanno insegnato a lezione, quando torno a casa magari posto lo svolgimento. L' unica cosa interessante che trovo in questi esercizi è capire i passaggi algebrici da usare in base al tipo di limite (per ora abbiamo fatto solo quelli di successioni), spero che più in avanti alcuni pattern ricorrenti me lo facciano capire in modo più chiaro.
Ciao HowardRoark,
Casomai hai de-razionalizzato o razionalizzato al contrario: la razionalizzazione è l'operazione per portare una radice da denominatore a numeratore, mentre in questo caso si deve fare il contrario, portarla da numeratore a denominatore...
$\lim_{n \to +\infty} n(\sqrt(\pi^2 + e/n)- \pi) = \lim_{n \to +\infty} n(\sqrt(\pi^2 +e/n)-\pi) \cdot \frac{\sqrt(\pi^2 + e/n)+ \pi}{\sqrt(\pi^2 + e/n) + \pi} = $
$ = \lim_{n \to +\infty} n \cdot \frac{\pi^2 + e/n - \pi^2}{\sqrt(\pi^2 + e/n) + \pi} = \lim_{n \to +\infty} \frac{e}{\sqrt(\pi^2 + e/n) + \pi} = \frac{e}{\sqrt(\pi^2 + 0) + \pi} = \frac{e}{2 \pi}$
In questi casi l'idea di base è sfruttare l'identità $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $ ove nel caso in esame $a := \sqrt(\pi^2 + e/n) $ e $b := \pi $
"HowardRoark":
Io ho razionalizzato [...]
Casomai hai de-razionalizzato o razionalizzato al contrario: la razionalizzazione è l'operazione per portare una radice da denominatore a numeratore, mentre in questo caso si deve fare il contrario, portarla da numeratore a denominatore...
$\lim_{n \to +\infty} n(\sqrt(\pi^2 + e/n)- \pi) = \lim_{n \to +\infty} n(\sqrt(\pi^2 +e/n)-\pi) \cdot \frac{\sqrt(\pi^2 + e/n)+ \pi}{\sqrt(\pi^2 + e/n) + \pi} = $
$ = \lim_{n \to +\infty} n \cdot \frac{\pi^2 + e/n - \pi^2}{\sqrt(\pi^2 + e/n) + \pi} = \lim_{n \to +\infty} \frac{e}{\sqrt(\pi^2 + e/n) + \pi} = \frac{e}{\sqrt(\pi^2 + 0) + \pi} = \frac{e}{2 \pi}$
In questi casi l'idea di base è sfruttare l'identità $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $ ove nel caso in esame $a := \sqrt(\pi^2 + e/n) $ e $b := \pi $
Concordo con te pilloeffe, ma a lezione quella procedura è stata chiamata "razionalizzazione", mi sono solo limitato a riportare le parole dei miei professori.
Comunque, diciamo che di solito si vuole razionalizzare (nel modo in cui lo intendi tu ed io prima di ieri) per semplificare espressioni irrazionali o per motivi legati alla propagazione degli errori; nel mio caso voglio "razionalizzare" (o de-razionalizzare) perché avere una cosa che va a $+oo$ a denominatore è più comodo rispetto ad averla sopra, quindi è una sorta di semplificazione.
Comunque, diciamo che di solito si vuole razionalizzare (nel modo in cui lo intendi tu ed io prima di ieri) per semplificare espressioni irrazionali o per motivi legati alla propagazione degli errori; nel mio caso voglio "razionalizzare" (o de-razionalizzare) perché avere una cosa che va a $+oo$ a denominatore è più comodo rispetto ad averla sopra, quindi è una sorta di semplificazione.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo