Forma indeterminata
ciao a tutti, ho un dubbio riguardante le forme indeterminate dei limiti 0*infinito e infinito/infinito.
il teorema del prodotto dei limiti ci dice che il limite del prodotto di due funzioni è dato dal prodotto dei singoli limiti e che sarà infinito (se una una funzione ha limite finito e l'altra limite infinito) o finito (se entrambe le funzioni hanno limite finito), se una funzione ha limite 0 e l'altra infinito rispettando la regola si otterrebbe un come limite del prodotto delle due funzioni 0*infinto. il mio dubbio è.. 0 essendo elemento assorbente del prodotto, se moltiplichiamo 0* infinito il risultato perchè non è 0 ma è indeterminato? allo stesso modo infinito fratto infinito perchè non è 1? grazie a tutti per il tempo dedicato nelle risposte.
il teorema del prodotto dei limiti ci dice che il limite del prodotto di due funzioni è dato dal prodotto dei singoli limiti e che sarà infinito (se una una funzione ha limite finito e l'altra limite infinito) o finito (se entrambe le funzioni hanno limite finito), se una funzione ha limite 0 e l'altra infinito rispettando la regola si otterrebbe un come limite del prodotto delle due funzioni 0*infinto. il mio dubbio è.. 0 essendo elemento assorbente del prodotto, se moltiplichiamo 0* infinito il risultato perchè non è 0 ma è indeterminato? allo stesso modo infinito fratto infinito perchè non è 1? grazie a tutti per il tempo dedicato nelle risposte.
Risposte
Mi sembra di capire che le domande si possano riassumere così:
Q1: perché $0 \cdot \infty$ è una forma indeterminata?
Q2: perché $\frac{\infty}{\infty}$ non è sempre uguale a $1$ ma è anch'esso considerato una forma indeterminata?
Partiamo da Q1: la situazione è la seguente:
$ \lim f(x) \cdot g(x)$ se $\lim f(x) = 0$ e $\lim g(x)= \infty$.
Considera questo esempio:
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot x^2$ dove ovviamente $\lim \frac{1}{x}=0$ e $\lim x^2=\infty$.
Tuttavia $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot x^2=\lim_{x \rightarrow \infty} x = \infty.$
La proprietà assorbente dello $0$ non funziona perché il limite a cui tende $g(x)$ ($x^2$ nell'esempio)
non è finito!
Considera questo altro esempio: $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot \log(x)$ dove $\lim \frac{1}{x}=0$ e $\lim \log(x)=\infty$. Tuttavia $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot \log(x)= 0.$
Quindi ogni volta che trovi una forma $ \lim f(x) \cdot g(x)$ se $\lim f(x) = 0$ e $\lim g(x) =\infty$ devi trattarla con metodi adatti (Taylor, teorema di l'Hopital,..) oppure se non riesci la lasci indeterminata (dipende a che livello stai studiando l'argomento) ma non può far valere discorsi come la proprietà assorbente dello $0$ e altre cose che valgono solo nel caso di numeri finiti.
Q1: perché $0 \cdot \infty$ è una forma indeterminata?
Q2: perché $\frac{\infty}{\infty}$ non è sempre uguale a $1$ ma è anch'esso considerato una forma indeterminata?
Partiamo da Q1: la situazione è la seguente:
$ \lim f(x) \cdot g(x)$ se $\lim f(x) = 0$ e $\lim g(x)= \infty$.
Considera questo esempio:
$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot x^2$ dove ovviamente $\lim \frac{1}{x}=0$ e $\lim x^2=\infty$.
Tuttavia $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot x^2=\lim_{x \rightarrow \infty} x = \infty.$
La proprietà assorbente dello $0$ non funziona perché il limite a cui tende $g(x)$ ($x^2$ nell'esempio)
non è finito!
Considera questo altro esempio: $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot \log(x)$ dove $\lim \frac{1}{x}=0$ e $\lim \log(x)=\infty$. Tuttavia $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot \log(x)= 0.$
Quindi ogni volta che trovi una forma $ \lim f(x) \cdot g(x)$ se $\lim f(x) = 0$ e $\lim g(x) =\infty$ devi trattarla con metodi adatti (Taylor, teorema di l'Hopital,..) oppure se non riesci la lasci indeterminata (dipende a che livello stai studiando l'argomento) ma non può far valere discorsi come la proprietà assorbente dello $0$ e altre cose che valgono solo nel caso di numeri finiti.
grazie per le risposte e per il tempo dedicato, adesso ho capito il ragionamento!
Per quanto riguarda la seconda domanda si possono fare almeno due considerazioni:
1) $\frac{f(x)}{g(x)}$ se $\lim f(x)= \infty$ e $\lim g(x)= \infty$ si può scrivere come $f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}$ dove
$\lim f(x)= \infty$ e $\lim \frac{1}{g(x)}= 0$ che è indeterminata (vedi post sopra), quindi ovviamente anche $\frac{f(x)}{g(x)}$ lo è.
2) Come si trattano le forme $\frac{\infty}{\infty}$? La risposta è che dipende dai vari casi, considera questi esempi:
Es 1: $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{x^2}=0$, invece:
Es 2: $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{x}=\infty$.
Es 3: $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{x}=1$.
Sono tutte forme $\frac{\infty}{\infty}$ ma i rispettivi risultati dipendono dal "tipo di infinito" che stai considerando.
1) $\frac{f(x)}{g(x)}$ se $\lim f(x)= \infty$ e $\lim g(x)= \infty$ si può scrivere come $f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}$ dove
$\lim f(x)= \infty$ e $\lim \frac{1}{g(x)}= 0$ che è indeterminata (vedi post sopra), quindi ovviamente anche $\frac{f(x)}{g(x)}$ lo è.
2) Come si trattano le forme $\frac{\infty}{\infty}$? La risposta è che dipende dai vari casi, considera questi esempi:
Es 1: $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{x^2}=0$, invece:
Es 2: $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^2}{x}=\infty$.
Es 3: $\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x}{x}=1$.
Sono tutte forme $\frac{\infty}{\infty}$ ma i rispettivi risultati dipendono dal "tipo di infinito" che stai considerando.
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