Forma indeterminata 0/0
Buongiorno a tutti!
E' la prima volta che mi rivolgo al buon cuore degli utenti di un forum per risolvere un esercizio universitario.
L'esercizio consiste in un limite da calcolare.
Inizialmente mi sembrava molto semplice, ho iniziato a svolgerlo (sottovalutandolo evidentemente) ma sono arrivato di nuovo alla forma indeterminata 0/0.
Il limite è il seguente:
$lim_(x->0)(e^sin(x)-e^x)/(x*sin(x))$
Il mio procedimento è stato il seguente:
$lim_(x->0)(e^sin(x)-e^x)/(x*sin(x))$
Ho aggiunto e sottratto $1$
$lim_(x->0)(e^sin(x)-1+1-e^x)/(x*sin(x))$
Ho moltiplicato e diviso per $sin(x)$ e $x$
$lim_(x->0)(((e^sin(x)-1)/sin(x))*sin(x)-((e^x-1)/x)*x)/(x*sin(x))$
Ho messo in evidenza e semplificato $x$
$lim_(x->0)(x*[((e^sin(x)-1)/sin(x))*(sin(x)/x)-((e^x-1)/x)])/(x*sin(x)) = lim_(x->0)(((e^sin(x)-1)/sin(x))*(sin(x)/x)-((e^x-1)/x))/(sin(x))$
Ho messo in evidenza $sin(x)/x$ (al numeratore) e semplificando ho avuto l'ultima forma a cui sono riuscito ad arrivare del limite, ma che mi restituisce nuovamente la forma indeterminata $0/0$
$lim_(x->0)((sin(x)/x)*[((e^sin(x)-1)/sin(x))-((e^x-1)/x)/(sin(x)/x))]/(sin(x)) = lim_(x->0)(((e^sin(x)-1)/sin(x))-((e^x-1)/x)/(sin(x)/x))/(x)$
Quasi dimenticavo, non devo usare Taylor o Hopital, solo limiti notevoli.
La mia domanda è...sbaglio qualche passaggio...o il mio procedimento è sbagliato fin dall'inizio.
Ringrazio in anticipo per tutte le eventuali risposte.
E' la prima volta che mi rivolgo al buon cuore degli utenti di un forum per risolvere un esercizio universitario.
L'esercizio consiste in un limite da calcolare.
Inizialmente mi sembrava molto semplice, ho iniziato a svolgerlo (sottovalutandolo evidentemente) ma sono arrivato di nuovo alla forma indeterminata 0/0.
Il limite è il seguente:
$lim_(x->0)(e^sin(x)-e^x)/(x*sin(x))$
Il mio procedimento è stato il seguente:
$lim_(x->0)(e^sin(x)-e^x)/(x*sin(x))$
Ho aggiunto e sottratto $1$
$lim_(x->0)(e^sin(x)-1+1-e^x)/(x*sin(x))$
Ho moltiplicato e diviso per $sin(x)$ e $x$
$lim_(x->0)(((e^sin(x)-1)/sin(x))*sin(x)-((e^x-1)/x)*x)/(x*sin(x))$
Ho messo in evidenza e semplificato $x$
$lim_(x->0)(x*[((e^sin(x)-1)/sin(x))*(sin(x)/x)-((e^x-1)/x)])/(x*sin(x)) = lim_(x->0)(((e^sin(x)-1)/sin(x))*(sin(x)/x)-((e^x-1)/x))/(sin(x))$
Ho messo in evidenza $sin(x)/x$ (al numeratore) e semplificando ho avuto l'ultima forma a cui sono riuscito ad arrivare del limite, ma che mi restituisce nuovamente la forma indeterminata $0/0$
$lim_(x->0)((sin(x)/x)*[((e^sin(x)-1)/sin(x))-((e^x-1)/x)/(sin(x)/x))]/(sin(x)) = lim_(x->0)(((e^sin(x)-1)/sin(x))-((e^x-1)/x)/(sin(x)/x))/(x)$
Quasi dimenticavo, non devo usare Taylor o Hopital, solo limiti notevoli.
La mia domanda è...sbaglio qualche passaggio...o il mio procedimento è sbagliato fin dall'inizio.
Ringrazio in anticipo per tutte le eventuali risposte.
Risposte
Ciao. Sei sicuro del testo e/o della richiesta di non usare Taylor e De L'Hopital ?
Certamente sbaglio io, e ringrazio a priori chi mi correggesse, ma sviluppando (con Taylor) si deve arrivare almeno fino al 3° ordine per avere un risultato credibile; considerando che applicare i imiti notevoli equivale sostanzialmente a fermarsi al prim' ordine ho dei dubbi che si possa arrivare ad una conclusione soltanto usando questi ultimi.
Certamente sbaglio io, e ringrazio a priori chi mi correggesse, ma sviluppando (con Taylor) si deve arrivare almeno fino al 3° ordine per avere un risultato credibile; considerando che applicare i imiti notevoli equivale sostanzialmente a fermarsi al prim' ordine ho dei dubbi che si possa arrivare ad una conclusione soltanto usando questi ultimi.
Ciao.
Prima di tutto ti ringrazio dell'attenzione.
In secondo luogo ti ringrazio di avermi fatto notare che negli ultimi passaggi ci sono delle parentesi fuori posto.
Purtroppo per quanto riguarda Taylor e De L'Hopital sono sicuro, è richiesto esplicitamente di risolvere il limite usando i limiti notevoli.
Un saluto.
Prima di tutto ti ringrazio dell'attenzione.
In secondo luogo ti ringrazio di avermi fatto notare che negli ultimi passaggi ci sono delle parentesi fuori posto.
Purtroppo per quanto riguarda Taylor e De L'Hopital sono sicuro, è richiesto esplicitamente di risolvere il limite usando i limiti notevoli.
Un saluto.
Ciao,
allora usando solo limiti notevoli, io procederei così:
$ lim_(x->0)(e^sinx-e^x)/(x sinx) = lim_(x->0) (e^x(e^(sinx-x)-1))/(x sinx) = lim_(x->0) (e^x (e^(sinx-x)-1))/(sinx-x) * (sinx-x)/(x sinx) =$
$\ = 1 * lim_(x->0) (sinx-x)/(x sinx) = lim_(x->0) (sinx-x)/(x^3) * (x^2)/(sinx) = -1/6 * 1 * 0 = 0$
Spero di essere stato chiaro
allora usando solo limiti notevoli, io procederei così:
$ lim_(x->0)(e^sinx-e^x)/(x sinx) = lim_(x->0) (e^x(e^(sinx-x)-1))/(x sinx) = lim_(x->0) (e^x (e^(sinx-x)-1))/(sinx-x) * (sinx-x)/(x sinx) =$
$\ = 1 * lim_(x->0) (sinx-x)/(x sinx) = lim_(x->0) (sinx-x)/(x^3) * (x^2)/(sinx) = -1/6 * 1 * 0 = 0$
Spero di essere stato chiaro
@wanderer: di sicuro sbaglio io, ma non mi pare che il $lim_(x to 0)(sinx-x)/x^3=-1/6$
sia da considerare notevole.
Non vedo altri modi per calcolarlo se non DeL'Hopital o Taylor. Mi sbaglio?
sia da considerare notevole.
Non vedo altri modi per calcolarlo se non DeL'Hopital o Taylor. Mi sbaglio?
Pienamente d'accordo con @Pallit, non ci sono altri modi per calcolarlo o Taylor oppure Hopital. 
"Palliit":
... Non vedo altri modi per calcolarlo se non DeL'Hopital o Taylor.
In effetti qua a pag.3 e seguenti si afferma e si dimostra il contrario.
Ciao a tutti.
Ringrazio tutti per l'attenzione, in particolare wanderer per la sua soluzione (non conoscevo proprio l'esistenza di quel limite notevole) e Palliit per il link all'articolo (senza di cui anch'io non avrei capito l'ultimo passaggio).
Vorrei proporvi un secondo procedimento a cui ho pensato ma solo dopo che wanderer ha postato la sua soluzione (stesso procedimento senza l'uso di quel limite notevole), è più macchinoso ma penso sia corretto.
$lim_(x->0)(e^sin(x)-e^x)/(x*sin(x)) = lim_(x->0)e^x*(e^(sin(x)-x)-1)/(x*sin(x)) = lim_(x->0)e^x*(e^(sin(x)-x)-1)/(sin(x)-x)*(sin(x)-x)/(x*sin(x)) = 1*1*lim_(x->0)(sin(x)-x)/(x*sin(x)) = lim_(x->0)x*((sin(x)/x)-1)/(x*sin(x)) = lim_(x->0)sin(x)*(1/x-1/sin(x))/(sin(x)) = lim_(x->0)(1/x-1/sin(x)) = lim_(x->0)(1/x-1/((sin(x)/x)*x)) = lim_(x->0)(1/x-1/x) = 0$
Che ne dite?
Un saluto.
Ringrazio tutti per l'attenzione, in particolare wanderer per la sua soluzione (non conoscevo proprio l'esistenza di quel limite notevole) e Palliit per il link all'articolo (senza di cui anch'io non avrei capito l'ultimo passaggio).
Vorrei proporvi un secondo procedimento a cui ho pensato ma solo dopo che wanderer ha postato la sua soluzione (stesso procedimento senza l'uso di quel limite notevole), è più macchinoso ma penso sia corretto.
$lim_(x->0)(e^sin(x)-e^x)/(x*sin(x)) = lim_(x->0)e^x*(e^(sin(x)-x)-1)/(x*sin(x)) = lim_(x->0)e^x*(e^(sin(x)-x)-1)/(sin(x)-x)*(sin(x)-x)/(x*sin(x)) = 1*1*lim_(x->0)(sin(x)-x)/(x*sin(x)) = lim_(x->0)x*((sin(x)/x)-1)/(x*sin(x)) = lim_(x->0)sin(x)*(1/x-1/sin(x))/(sin(x)) = lim_(x->0)(1/x-1/sin(x)) = lim_(x->0)(1/x-1/((sin(x)/x)*x)) = lim_(x->0)(1/x-1/x) = 0$
Che ne dite?
Un saluto.
Scusate ma io ancora nutro delle perplessità sul fatto che $lim_(x->0)(sinx-x)/x^3=-1/6$ possa considerarsi un limite notevole!
"enz-OH!":
Ciao a tutti.
Ringrazio tutti per l'attenzione, in particolare wanderer per la sua soluzione (non conoscevo proprio l'esistenza di quel limite notevole) e Palliit per il link all'articolo (senza di cui anch'io non avrei capito l'ultimo passaggio).
Vorrei proporvi un secondo procedimento a cui ho pensato ma solo dopo che wanderer ha postato la sua soluzione (stesso procedimento senza l'uso di quel limite notevole), è più macchinoso ma penso sia corretto.
$lim_(x->0)(e^sin(x)-e^x)/(x*sin(x)) = lim_(x->0)e^x*(e^(sin(x)-x)-1)/(x*sin(x)) = lim_(x->0)e^x*(e^(sin(x)-x)-1)/(sin(x)-x)*(sin(x)-x)/(x*sin(x)) = 1*1*lim_(x->0)(sin(x)-x)/(x*sin(x)) = lim_(x->0)x*((sin(x)/x)-1)/(x*sin(x)) = lim_(x->0)sin(x)*(1/x-1/sin(x))/(sin(x)) = lim_(x->0)(1/x-1/sin(x)) = lim_(x->0)(1/x-1/((sin(x)/x)*x)) = lim_(x->0)(1/x-1/x) = 0$
Che ne dite?
Un saluto.
Ciao,
forse sbaglierò, ma mi sembra che l'ultimo passaggio del tuo procedimento sia illecito. Non puoi semplificare $(sinx)/x$ in quel modo. Ti propongo un caso simile in cui questo è palese:
$lim_(x->0) (1/x-1/((e^x-1)/x * x)) = 1/2 != lim_(x->0) (1/x-1/x)$
x@Pallit.
In effetti qua a pag.3 e seguenti si afferma e si dimostra il contrario.[/quote]
Non capisco come fa ad asserire che si tratta di un limite notevole , basando la dimostrazione sul fatto che $lim_(x->0)(tanx-sinx)/(x^3)=1/2$
"Palliit":
[quote="Palliit"]... Non vedo altri modi per calcolarlo se non DeL'Hopital o Taylor.
In effetti qua a pag.3 e seguenti si afferma e si dimostra il contrario.[/quote]
Non capisco come fa ad asserire che si tratta di un limite notevole , basando la dimostrazione sul fatto che $lim_(x->0)(tanx-sinx)/(x^3)=1/2$
@francicko: [size=130]$(tanx-sinx)/x^3=(sinx/cosx-sinx)/x^3=sinx/x*1/cosx*(1-cosx)/x^2$.[/size]
Nel passaggio al limite per $x to 0$ i tre termini dell'ultima espressione tendono rispettivamente a $1$, $1$ ed $1/2$.
Nel passaggio al limite per $x to 0$ i tre termini dell'ultima espressione tendono rispettivamente a $1$, $1$ ed $1/2$.
Ciao a tutti.
Vi ringrazio nuovamente per l'attenzione.
In particolare ringrazio wanderer, perché dopo aver letto il suo esempio del tutto analogo al mio ultimo passaggio, devo dire che anch'io mi sono convinto della scorrettezza del mio passaggio appunto.
Inoltre volevo rispondere a francicko sul fatto che (forse sbaglio) è corretto considerare quel limite notevole sostanzialmente, che ne dite?
Un saluto.
Vi ringrazio nuovamente per l'attenzione.
In particolare ringrazio wanderer, perché dopo aver letto il suo esempio del tutto analogo al mio ultimo passaggio, devo dire che anch'io mi sono convinto della scorrettezza del mio passaggio appunto.
Inoltre volevo rispondere a francicko sul fatto che (forse sbaglio) è corretto considerare quel limite notevole sostanzialmente, che ne dite?
Un saluto.
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