Forma hermitiana degenere in uno spazio prehilbertiano
Sia $V$ uno spazio vettoriale, infinito dimensionale, sul quale è definita una forma hermitiana semidefinita positiva $<,>$
E' possibile avere, un tale spazio, con entrambe le seguenti affermazioni vere?
Punto1) Esiste un unico $v_0 in V$ tale che $v_0!=0$ e $ = 0$
Punto2) Esiste una successione di elementi ${v_n}_(n in NN)$ di $V$, con $v_n$ linearmente indipendente da $v_0$ per ogni $n in NN$ e che $v_n to v_0$
Secondo me non è possibile, ma vorrei una conferma.
Io ho provato a dimostrarlo in questo modo:
Sia $U=V-{"tutti gli elementi di V che dipendono linearmente da "v_0}$, allora $U$ risulterà essere uno spazio prehilbertiano e quindi, il suo completamento $bar(U)$, sarà uno spazio di Hilbert.
Ora, per il Punto2, in $bar(U)$ ritrovreremo $v_0$ e per la continuità del prodotto hermitiano si avrà:
$ to = 0$ portando così ad una contraddizione.
E' possibile avere, un tale spazio, con entrambe le seguenti affermazioni vere?
Punto1) Esiste un unico $v_0 in V$ tale che $v_0!=0$ e $
Punto2) Esiste una successione di elementi ${v_n}_(n in NN)$ di $V$, con $v_n$ linearmente indipendente da $v_0$ per ogni $n in NN$ e che $v_n to v_0$
Secondo me non è possibile, ma vorrei una conferma.
Io ho provato a dimostrarlo in questo modo:
Sia $U=V-{"tutti gli elementi di V che dipendono linearmente da "v_0}$, allora $U$ risulterà essere uno spazio prehilbertiano e quindi, il suo completamento $bar(U)$, sarà uno spazio di Hilbert.
Ora, per il Punto2, in $bar(U)$ ritrovreremo $v_0$ e per la continuità del prodotto hermitiano si avrà:
$
Risposte
Quando scrivi \(v_n \to v_0\) cosa intendi?
rigel, credo che questa tua domanda mi ha fatto capire dove probabilmente sbaglio.
quel limite io lo intendo nella metrica indotta dalla forma hermitiana in $V$, ma giustamente esso è degenere e non induce un bel niente, o sbaglio?
se invece fosse stato sulla metrica di $U$? sarebbe comunque impossibile?
quel limite io lo intendo nella metrica indotta dalla forma hermitiana in $V$, ma giustamente esso è degenere e non induce un bel niente, o sbaglio?
se invece fosse stato sulla metrica di $U$? sarebbe comunque impossibile?
La forma semidefinita può essere usata per definire una seminorma \(\| v \|_* := \sqrt{}\).
Dalla seminorma puoi passare a una norma quozientando il tuo spazio rispetto alla relazione di equivalenza
\[
v\sim w
\quad\Longleftrightarrow\quad
\|v-w\|_* = 0.
\]
(La norma è dunque definita sulle classi di equivalenza.)
Dalla seminorma puoi passare a una norma quozientando il tuo spazio rispetto alla relazione di equivalenza
\[
v\sim w
\quad\Longleftrightarrow\quad
\|v-w\|_* = 0.
\]
(La norma è dunque definita sulle classi di equivalenza.)
Non ho capito bene il problema....
1) Se $v_0\ne0$ e $ =0$, allora la stessa proprietà vale per $tv_0$, qualunque sia $t$ reale. Dunque come può $v_0$ essere unico?
2) cosa intendi con " $v_n$ linearmente indipendente da $v_0$ per ogni $n$" - l'unico modo in cui lo riesco a interpretare è che
$v_n$ non sia multiplo di $v_0$ (oppure intendi che $v_0,v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti?). In tal caso mi pare che per costruire $v_n$ basti prendere $v_n:=v_0+w/n$, dove $w$ e $v_0$ sono linearmente indipendenti (sicuramente nella metrica "originaria" ma anche, se non sbaglio, nella seminorma).
1) Se $v_0\ne0$ e $
2) cosa intendi con " $v_n$ linearmente indipendente da $v_0$ per ogni $n$" - l'unico modo in cui lo riesco a interpretare è che
$v_n$ non sia multiplo di $v_0$ (oppure intendi che $v_0,v_1,...,v_n$ sono linearmente indipendenti?). In tal caso mi pare che per costruire $v_n$ basti prendere $v_n:=v_0+w/n$, dove $w$ e $v_0$ sono linearmente indipendenti (sicuramente nella metrica "originaria" ma anche, se non sbaglio, nella seminorma).
Grazie Rigel, proverò a indagare sulle argomentazioni che mi hai suggerito.
ViciousGoblin, per il punto 1), hai ragione, per come mi sono espresso è proprio come dici, avrei dovuto scrivere $tv_0$ per ogni $t in C-{0}$
Per il punto 2) intendevo che ogni $v_n$ non può essere espresso come combinazione lineare di elementi comprentente $v_0$, in altre parole non esiste nessun $w in V$ tale che $v_n=v_0+w$. grazie
ViciousGoblin, per il punto 1), hai ragione, per come mi sono espresso è proprio come dici, avrei dovuto scrivere $tv_0$ per ogni $t in C-{0}$
Per il punto 2) intendevo che ogni $v_n$ non può essere espresso come combinazione lineare di elementi comprentente $v_0$, in altre parole non esiste nessun $w in V$ tale che $v_n=v_0+w$. grazie
"randomize":
Per il punto 2) intendevo che ogni $v_n$ non può essere espresso come combinazione lineare di elementi comprentente $v_0$, in altre parole non esiste nessun $w in V$ tale che $v_n=v_0+w$. grazie
Scusami randomize, ma continuo a non capire. Visto che $v_0\in V$, data una qualunque $v_n$ cosa ti impedisce di prendere
$w=v_n-v_0$? Mi pare ci sia qualcosa che sottintendi e che non scrivi (o forse che mi sfugge).
ViciousGoblin intendevo dire (e mi sono anche espresso male) che $v_n$ e $v_0$ formano un sistema linearmente indipendente
Come dicevo sopra mi rimane il dubbio sul singnificato di "$v_n$ e $v_0$ formano un sistema linearmente indipendente" - questa espressione potrebbe essere intesa con
(a) per ogni $n$ i due vettori $v_0$ e $v_n$ sono linearmente indipendenti (in sostanza $w_n$ non è multiplo di $v_0$);
oppure
(b) per ogni $n$ gli $n+1$ vettori $v_0$, $v_1$,..., $v_n$ sono linearmente indipendenti;
La (b) è molto più forte e necessita che lo spazio abbia dimensione infinita.
In ogni caso, se $V$ ha dimensione infinita e se $v_0$ è un vettore qualunque è chiaro che per ogni $n$ esistono
$w_1,...,w_n$ con $v_0$, $w_1$,..., $w_n$ linearmente indipendenti (se no lo spazio sarebbe di dimensione finita).
Posto allora $v_n:=\frac{w_n}{n||w_n||}$ mi pare che il $v_n$ verifichino (b) e che $v_n\to v_0$.
(a) per ogni $n$ i due vettori $v_0$ e $v_n$ sono linearmente indipendenti (in sostanza $w_n$ non è multiplo di $v_0$);
oppure
(b) per ogni $n$ gli $n+1$ vettori $v_0$, $v_1$,..., $v_n$ sono linearmente indipendenti;
La (b) è molto più forte e necessita che lo spazio abbia dimensione infinita.
In ogni caso, se $V$ ha dimensione infinita e se $v_0$ è un vettore qualunque è chiaro che per ogni $n$ esistono
$w_1,...,w_n$ con $v_0$, $w_1$,..., $w_n$ linearmente indipendenti (se no lo spazio sarebbe di dimensione finita).
Posto allora $v_n:=\frac{w_n}{n||w_n||}$ mi pare che il $v_n$ verifichino (b) e che $v_n\to v_0$.
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