Forma esatta?

[Lebesgue]

Ciao a tutti, ho un dubbio riguardo questo esercizio:
data la 1-forma differenziale $\omega = (-y^2)/((x-y)^2) \ dx + (2xy-y^2) / ( (x-y)^2) \ dy $
Dire se è vero che esiste un potenziale $U(x,y)$ definito su tutto $\RR^2 - {x \ne y} $, tale per cui $U(3,4)=U(4,3)$.

Anzitutto si ha che la forma è di classe $C^1$ ed è chiusa in $\RR^2 - {x \ne y}$. Tuttavia, essendo il dominio sconnesso (in particolare con 2 componenti semplicemente connesse), ad occhio mi verrebbe da dire che la forma non è esatta in tutto il dominio, in quanto trovo due potenziali diversi a seconda che sia nella componente connessa ${x > y}$ o in quella ${x < y}$.
Avete consigli/suggerimenti?

[pilloeffe]

Ciao Lebesgue,

Non so se può esserti utile, ma ho notato che si può scrivere:

$ \omega = (-y^2)/(x-y)^2 \text{d}x + (2xy-y^2)/(x-y)^2 \text{d}y = (-y^2)/(x-y)^2 \text{d}x - (x^2 - 2xy + y^2 - x^2)/(x-y)^2 \text{d}y = $

$ = (-y^2)/((x-y)^2) \text{d}x - [(x - y)^2/(x-y)^2 - x^2/(x-y)^2] \text{d}y = (-y^2)/((x-y)^2) \text{d}x + [x^2/(x-y)^2 - 1] \text{d}y = $

$ = (\del V)/(\del x) \text{d}x + [ (\del V)/(\del y) - 1] \text{d}y = (\del V)/(\del x) \text{d}x + (\del)/(\del y)[V(x, y) - y] \text{d}y = (\del U)/(\del x) \text{d}x + (\del U)/(\del y)\text{d}y $

con $V(x,y) = (xy)/(x - y) \implies U(x, y) = V(x, y) - y = (xy)/(x - y) - y $

Non mi risulta però che sia $U(3, 4) = U(4, 3) $

[Lebesgue]

Grazie mille Pilloeffe!
Non importa che non sia vero che $U(3,4) = U(4,3)$, alla fine la domanda era comunque un vero/falso; in ogni caso la cosa fondamentale era appunto trovare il potenziale

[Quinzio]

"Lebesgue":
Non importa che non sia vero che $U(3,4) = U(4,3)$, alla fine la domanda era comunque un vero/falso; in ogni caso la cosa fondamentale era appunto trovare il potenziale

$int (-y^2)/(x-y)^2 dx = y^2/(x-y) + F(y)$

$d/(dy) ( y^2/(x-y) + F(y) ) = (2xy - y^2)/(x-y)^2 + F'(y)$

Deve essere

$(2xy - y^2)/(x-y)^2 + F'(y) = (2xy - y^2)/(x-y)^2 $

da cui

$F'(y) = 0$

$F(y) = C$, una costante.

Quindi $U(x,y) = y^2/(x-y) + C$

i potenziali sono infiniti al variare di $C$.

Pero' e' falso che $U(3,4) = U(4,3)$

Siccome le due regioni sono disconnesse potrei pero' prendere

$ U(x,y) = { (y^2/(x-y) + C, "se " x>y ),( y^2/(x-y) +25 + C, "se " x < y ):}$

e questo rende vero $U(3,4) = U(4,3)$.

[Lebesgue]

Però, prendendo $U$ definita per casi come dici tu, non faccio saltare la continuità?
Dato che io voglio un potenziale $U$ definito su tutto $x \ne y$, io l'ho interpretato nel senso che dev'essere continuo (spero di essermi spiegato).
Perché il mio dubbio era esattamente questo: dato che il dominio è fatto di 2 componenti connesse, io potrei prendere un potenziale $U$ da una parte e un potenziale $U$ dall'altra parte e poi "rincollarli come mi pare" prendendo 2 costanti +C diverse, ma a me comode

[Fioravante Patrone1]

a Quinzio

Credo che chi ha dato l'esercizio volesse proprio questa osservazione, cioè che si possono prendere due "costanti arbitrarie", una per ogni pezzo

Quanto al fatto che una forma differenziale sia esatta su un insieme sconnesso, è solo una questione di definizione che piace al prof. Per me non ci sono problemi a parlare di esattezza di una forma su un coso fatto a pezzi (e immagino che questa sia anche la moda). D'altro canto, per come la vedo io, ognuno dei due pezzi è "un mondo a sé", per cui non mi scandalizzerei se uno richiedesse la connessione.

[Noodles1]

"Lebesgue":
... definito su tutto $\RR^2-{x\ney}$ ...

Magari su tutto $\RR^2-{x=y}$.