Forma esatta

[Raikton]

Salve volevo sapere una cosa su questo esercizio,la forma differenziale ($(x/sqrt(x^2-y^2))$,$(-y/sqrt(x^2-y^2))$) nel suo dominio massimale è.Allora io ho fatto i conti e il potenziale mi viene $sqrt(x^2-y^2)+k$ ma la riposta giusta nel compito del prof è:la forma è esatta ma i suoi potenziali non differiscono in generale per una costante,come mai?A me verrebbe da dire che differiscono per una costante quindi non lo so,grazie.

[dissonance]

Devi calcolare bene il dominio della tua forma. E' connesso?

[Raikton]

C'è scritto nel suo dominio massimale quindi levando la bisettrice del 1 e 3 quadrante.

[dissonance]

Eh, appunto. Ripeto la domanda: il dominio è connesso?

[Raikton]

No perchè dati due punti non esiste una curva che li possa collegare visto che c'è la retta nel mezzo che manca

[dissonance]

Le rette veramente sono due, ma a parte questo, è giusto questo che dici. La cosa è importante perché per ogni componente connessa del tuo dominio tu puoi sommare una costante diversa. In termini formali, la funzione
\[
f(x, y)=\begin{cases}
\sqrt{x^2-y^2} + k_1, & \text{ prima componente connessa} \\
\sqrt{x^2-y^2} + k_2, & \text{ seconda componente connessa} \\
\sqrt{x^2-y^2} + k_3, & \text{ terza componente connessa} \\
\sqrt{x^2-y^2} + k_4, & \text{ quarta componente connessa} \\
\end{cases}
\]
è una primitiva della tua forma differenziale per ogni scelta delle costanti \(k_1, k_2, k_3, k_4\). Questo fatto non è ovvio e occorre ragionarci un po' su per capirlo.