Forma differenziale:verifica che è chiusa
Salve a tutti...
sto svolgendo una forma differenziale e ho trovato che il dominio è $R^2-(x,-x)$
Quindi la forma è definita in tutto $R^2$ tranne che per i punti della bisettrice del 2° e 4° quadrante.
Per dire che è esatta posso dire che gli insiemi che stanno al di sopra e al di sotto della bisettrice sono semplicemente connessi e quindi la forma è esatta o posso fare un integrale curvilineo attorno al punto generico $(x,-x)$ su una circonferenza e verifico che fa 0?
Mi pare che la prima ipotesi sia la più probabile perchè quella dell'integrale curvilineo sarebbe una fatica immane dati i parecchi conti...Grazie mille e buona Domenica a tutti
sto svolgendo una forma differenziale e ho trovato che il dominio è $R^2-(x,-x)$
Quindi la forma è definita in tutto $R^2$ tranne che per i punti della bisettrice del 2° e 4° quadrante.
Per dire che è esatta posso dire che gli insiemi che stanno al di sopra e al di sotto della bisettrice sono semplicemente connessi e quindi la forma è esatta o posso fare un integrale curvilineo attorno al punto generico $(x,-x)$ su una circonferenza e verifico che fa 0?
Mi pare che la prima ipotesi sia la più probabile perchè quella dell'integrale curvilineo sarebbe una fatica immane dati i parecchi conti...Grazie mille e buona Domenica a tutti
Risposte
mmh apparte il fatto che se c'è scritto $\RR - (x, -x)$ io lo interpreterei come $\RR$ privato di tutte e 2 le bisettrici: $y = x$ e $y = -x$.
Detto questo, l' integrale che dici tu, non ha molto senso farlo, trattandosi di infiniti punti irregolari..
Una cosa, non so se l' hai omesso per sbaglio, o proprio è una mancanza di conoscenza, ma per dire che la forma diff è esatta sfruttando un dominio semplice, si deve prima verificare che sia esatta..
Detto questo, l' integrale che dici tu, non ha molto senso farlo, trattandosi di infiniti punti irregolari..
Una cosa, non so se l' hai omesso per sbaglio, o proprio è una mancanza di conoscenza, ma per dire che la forma diff è esatta sfruttando un dominio semplice, si deve prima verificare che sia esatta..
forse dicevi che si doveva verificare che è chiusa....si cmq è chiusa..cm faccio a vedere se è esatta?
mmh puoi verificare se esiste l' integrale della tua funzione differenziale..
ma io prima di trovare una primitiva dovrei vedere se è esatta...almeno cosi dovrei fare allo scritto di analisi 2 di domani 
in effetti non sono sicurissimo sia l' esattezza a dipedere dall' esistenza del integrale, o viceversa. è da molto che non riguardo queste cose.
Comunque adesso che ci penso, presi singolarmente i 4 semipiani, ognuno è semplicemente connesso, quindi DOVREBBE bastare il fatto che la forma è chiusa per poter affermare l'esattezza nei singoli domini semplici.. ma meglio attendere conferma..
Comunque adesso che ci penso, presi singolarmente i 4 semipiani, ognuno è semplicemente connesso, quindi DOVREBBE bastare il fatto che la forma è chiusa per poter affermare l'esattezza nei singoli domini semplici.. ma meglio attendere conferma..
chi mi dice se è un ragionamento giusto il fatto dei 4 semipiani che presi singolarmente mi dicono che è esatta?
Secondo me no.
Ma la funzione si può vedere o è protetta da Copyright?
Ma la funzione si può vedere o è protetta da Copyright?
$omega=((4x)/sqrt(4x^2-y^2)+1)dx-y/sqrt(4x^2-y^2)dy
mi sono accorto che il dominio è $R^2-{(x,+-2x)}$ e non quello che avevo detto io nel primo post...ma comunque c'è sempre il problema di come verificare che la forma è chiusa...non riesco proprio a venirne fuori!
mi sono accorto che il dominio è $R^2-{(x,+-2x)}$ e non quello che avevo detto io nel primo post...ma comunque c'è sempre il problema di come verificare che la forma è chiusa...non riesco proprio a venirne fuori!
Hai sempre un modo per verificare che è chiusa, e poi uno un po' più sofisticato, che alle volte ti consente di non fare nemmeno le derivate.
La definizione per cui una forma è chiusa è questa:
$domega = 0$
da cui deriva che se fai le derivate incrociate basta verificare che siano uguali, cioè:
$f_y=g_x$ dove la forma è la seguente: $omega = fdx + gdy$.( se qui fai le derivate ti accorgi che è chiusa)
Oppure sfruttando il teorema per cui: se $T$ è una trasformazione di classe 2 da un aperto $V in RR$ a valori in un aperto $E in RR^2$ dove la forma è definita(il teorema è vero in generale quale che sia la dimensione degli spazi euclidei, ovviamente in dipendenza del tipo di forme differenziali che hai) allora:
$(domega)_T = d(omega_T)$ per cui se $d(omega_T)=0$ allora la forma è chiusa, quindi ti basta verificare che:
$omega_T =0 $
Qui funziona ma non sono certo di queste affermazioni! ci deve essere una sorta di iniettività come in questo in caso e nel caso banale di scambio di variabili.
[edit] si basta l'iniettività!
Considera a tal fine, in questo caso la seguente trasformazione:
$ T = ((x),(y))= ( ( -1 ),( sqrt(3) ) )(t) $ cioè $x= -t$ $y=sqrt(3)*t$
allora puoi verificare che questa forma è chiusa senza fare le derivate, il problema però è il trovare quei numeri, e non è sempre facile, ma a volte è banale, questo è il caso in cui passi da una 0-forma all'altra(da $f$ a $g$ per esempio) scambiando semplicemente le variabili.
PS
Trovare i termini della matrice che rappresenta la trasformazione si riconduce allo studio delle equazioni in generale a volte sono algebriche altre no, se hai per esempio funzioni trigonometriche ecc ecc.
Comunque conviene sempre fare le derivate, salvo i casi in cui è evidente scambiando le variabili come ti ho detto sopra, e pochi altri.
La definizione per cui una forma è chiusa è questa:
$domega = 0$
da cui deriva che se fai le derivate incrociate basta verificare che siano uguali, cioè:
$f_y=g_x$ dove la forma è la seguente: $omega = fdx + gdy$.( se qui fai le derivate ti accorgi che è chiusa)
Oppure sfruttando il teorema per cui: se $T$ è una trasformazione di classe 2 da un aperto $V in RR$ a valori in un aperto $E in RR^2$ dove la forma è definita(il teorema è vero in generale quale che sia la dimensione degli spazi euclidei, ovviamente in dipendenza del tipo di forme differenziali che hai) allora:
$(domega)_T = d(omega_T)$ per cui se $d(omega_T)=0$ allora la forma è chiusa, quindi ti basta verificare che:
$omega_T =0 $
Qui funziona ma non sono certo di queste affermazioni! ci deve essere una sorta di iniettività come in questo in caso e nel caso banale di scambio di variabili.
[edit] si basta l'iniettività!
Considera a tal fine, in questo caso la seguente trasformazione:
$ T = ((x),(y))= ( ( -1 ),( sqrt(3) ) )(t) $ cioè $x= -t$ $y=sqrt(3)*t$
allora puoi verificare che questa forma è chiusa senza fare le derivate, il problema però è il trovare quei numeri, e non è sempre facile, ma a volte è banale, questo è il caso in cui passi da una 0-forma all'altra(da $f$ a $g$ per esempio) scambiando semplicemente le variabili.
PS
Trovare i termini della matrice che rappresenta la trasformazione si riconduce allo studio delle equazioni in generale a volte sono algebriche altre no, se hai per esempio funzioni trigonometriche ecc ecc.
Comunque conviene sempre fare le derivate, salvo i casi in cui è evidente scambiando le variabili come ti ho detto sopra, e pochi altri.
scusami....ma volevo un modo per verificare che la forma è esatta....per quanto riguarda la chiusura l'ho già verificata ed è chiusa....ma proprio non riesco a capire come dire che la forma è esatta 
"dlbp":
scusami....ma volevo un modo per verificare che la forma è esatta....per quanto riguarda la chiusura l'ho già verificata ed è chiusa....ma proprio non riesco a capire come dire che la forma è esatta
Infatti mi pareva, comunque hai scritto diversamente, prima del mio post.
Basta che il tuo insieme sia aperto convesso. questa è una condizione sufficiente.
Oppure considera che le 1-forme esatte sono nulle in curve chiuse derivabili, questa è una condizione necessaria.
Cioè se il tuo insieme ha dei buchi, allora considera una curva che li circonda se l'integrale di linea è nullo la condizione necessaria è soddisfatta.
Insomma guarda bene come è fatto l'insieme di definizione e vedi se riesci a trovare una trasformazione di classe 2 iniettiva dal tuo insieme verso uno aperto convesso dello spazio euclideo delle stesse dimensioni(due qui).
Allora se la tua forma è chiusa è anche esatta.
e allora poichè il dominio della forma differenziale che sto studiando è $R^2-{(x,+-2x)}$ come faccio a dire che è esatta??
che curva devo considerare oppure non posso dire direttamente che al di sopra e al di sotto della retta $y=+-2x$ (che non appartiene al dominio) ci sono insiemi senza "buchi", cioè sono insiemi semplicemente connessi e quindi la forma è esatta nel suo dominio e quindi esiste una primitiva?
Mi pare un'ipotesi abbastanza praticabile anche vedendo altri tipi di esercizi...che ne dici regim??
che curva devo considerare oppure non posso dire direttamente che al di sopra e al di sotto della retta $y=+-2x$ (che non appartiene al dominio) ci sono insiemi senza "buchi", cioè sono insiemi semplicemente connessi e quindi la forma è esatta nel suo dominio e quindi esiste una primitiva?
Mi pare un'ipotesi abbastanza praticabile anche vedendo altri tipi di esercizi...che ne dici regim??
Guarda stavolta ce la siamo cavata a buon mercato.
La forma è esatta senza troppo starci a ragionare su, perchè $dlambda = omega$
$lambda = sqrt(4*x^2 - y^2) +x$
[edit] l'insieme è aperto ma se vedi com'è fatto, non c'è l'origine, non è convesso, nella sua totalita, ma ora, trovata la primitiva, è esatta dove è definita la primitiva, e cioè nello stesso insieme della forma, quindi il caso è risolto, e possiamo andare a nanna.
[edit] anzi, se pure ci fosse stata l'origine non era convesso lo stesso, i soli punti uniti da un segmento interamente contenuto nell'insieme sarebbero solo quelli appartenenti alle rette di un fascio di rette centrato nell'origine.
[edit] Quello che ho scritto prima del tuo post, è esattamente quello che hai detto tu, è da quel teorema che deriva la tua osservazione.
[edit] questo è un sito per approfondimenti, anzi, per impazzimenti
http://aps.arxiv.org/
La forma è esatta senza troppo starci a ragionare su, perchè $dlambda = omega$
$lambda = sqrt(4*x^2 - y^2) +x$
[edit] l'insieme è aperto ma se vedi com'è fatto, non c'è l'origine, non è convesso, nella sua totalita, ma ora, trovata la primitiva, è esatta dove è definita la primitiva, e cioè nello stesso insieme della forma, quindi il caso è risolto, e possiamo andare a nanna.
[edit] anzi, se pure ci fosse stata l'origine non era convesso lo stesso, i soli punti uniti da un segmento interamente contenuto nell'insieme sarebbero solo quelli appartenenti alle rette di un fascio di rette centrato nell'origine.
[edit] Quello che ho scritto prima del tuo post, è esattamente quello che hai detto tu, è da quel teorema che deriva la tua osservazione.
[edit] questo è un sito per approfondimenti, anzi, per impazzimenti
http://aps.arxiv.org/
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