Forma differenziale radiale
Ciao a tutti,
mi potete cotesemente spiegare cosa si intende per forma differenziale radiale (non riesco a trovare la definizione sul libro...).
Inoltre a lezione il professore ci disse che quando avevamo una forma differenziale radiale era facile verificare se fosse esatta, solo che non mi ricordo il procedimento da effettuare e su libro non viene riportato. Sapete per caso come si deve procedere in questi casi.
Grazie in anticipo
mi potete cotesemente spiegare cosa si intende per forma differenziale radiale (non riesco a trovare la definizione sul libro...).
Inoltre a lezione il professore ci disse che quando avevamo una forma differenziale radiale era facile verificare se fosse esatta, solo che non mi ricordo il procedimento da effettuare e su libro non viene riportato. Sapete per caso come si deve procedere in questi casi.
Grazie in anticipo
Risposte
Una funzione, in genere, si dice radiale se essa dipende solo dalla distanza che i suoi punti hanno dall'origine. In pratica, se $(x,y)$ sono i punti del piano, una funzione è radiale se [tex]$f(x,y)=f(r)$[/tex] dove [tex]$r=\sqrt{x^2+y^2}$[/tex] è la distanza del punto $(x,y)$ dall'origine. Quello che accade, in sostanza, è che una funzione di $n$ variabili, radiale, può essere considerata come una funzione di una sola variabile. Prova a ragionare su cosa succede se una forma differenziale [tex]$\omega(x,y)=P(x,y)\ dx+Q(x,y)\ dy$[/tex] risulta radiale: in qualche modo essa dovrà diventare qualcosa del tipo [tex]$\omega(r)=A(r)\ dr$[/tex].
Ad esempio la forma:
$omega = (x)/(1-x^2 -y^2)dx + (y)/(1-x^2 -y^2)dy$
dovrebbe essere radiale. Come faccio a vedere se è esatta e calcolarmi la primitiva...ho letto e riletto ciò che mi hai scritto precedemente ma non riesco a trovare il modo...
$omega = (x)/(1-x^2 -y^2)dx + (y)/(1-x^2 -y^2)dy$
dovrebbe essere radiale. Come faccio a vedere se è esatta e calcolarmi la primitiva...ho letto e riletto ciò che mi hai scritto precedemente ma non riesco a trovare il modo...
Se scrivi [tex]$x^2+y^2=r^2$[/tex] allora avrai [tex]$2x\ dx+2y\ dy=2r\ dr\ \Rightarrow\ x\ dx+y\ dy=r\ dr$[/tex]. ne segue che
[tex]$\omega=\frac{1}{1-x^2-y^2}(x\ dx+y\ dy)=\frac{1}{1-r^2}\cdot r\ dr=\frac{r}{1-r^2}\ dr$[/tex]
Per vedere se è esatta, devi solo trovare una funzione [tex]$f(r)$[/tex] tale che [tex]$\frac{df}{dr}=\frac{r}{1-r^2}$[/tex]. Questo implicherà che [tex]$df=\omega$[/tex].
[tex]$\omega=\frac{1}{1-x^2-y^2}(x\ dx+y\ dy)=\frac{1}{1-r^2}\cdot r\ dr=\frac{r}{1-r^2}\ dr$[/tex]
Per vedere se è esatta, devi solo trovare una funzione [tex]$f(r)$[/tex] tale che [tex]$\frac{df}{dr}=\frac{r}{1-r^2}$[/tex]. Questo implicherà che [tex]$df=\omega$[/tex].
Premetto che ancora non mi è molto chiaro...
Ma da quello che ho capito la funzione f(r) dovrebbe essere $-(log(1 - r^2))/(2)$???
Ma da quello che ho capito la funzione f(r) dovrebbe essere $-(log(1 - r^2))/(2)$???
Sì.
Allora la forma $omega$ è esatta.
Ma quando in un esercizio viene chiesto di calcolare una primitiva di $omega$ e la forma è radiale basta fermarsi a questo, oppure devo sottolineare che la primitiva è $-(log(1 - x^2 - y^2))/(2)$?
Ma quando in un esercizio viene chiesto di calcolare una primitiva di $omega$ e la forma è radiale basta fermarsi a questo, oppure devo sottolineare che la primitiva è $-(log(1 - x^2 - y^2))/(2)$?
Ovviamente puoi anche ritornare alle coordinate cartesiane. Ti pongo però una domanda: su quale insieme tale forma è esatta?
$omega$ è esatta $AA(x, y) : x^2 + y^2 > 1$ e $AA(x, y) : x^2 + y^2 < 1$, quindi sono due gli insiemi semplicemente connessi?
Che le funzioni nella forma siano definite per quei due casi, va bene. Ma la primitiva che hai trovato è definita solo in un caso, a meno che tu non faccia comparire un valore assoluto. La primitiva corretta è questa [tex]$f(x,y)=\frac{1}{2}\log|1-x^2-y^2|$[/tex]. Fai attenzione, però: quei due insiemi non sono, entrambi, semplicemente connessi. Tra l'altro, da come la poni tu, pare che valga questa condizione
se $\omega$ è chiusa ed esatta su $A$, allora $A$ è semplicemente connesso;
mentre la proposizione corretta è
se $\omega$ è chiusa e $A$ è semplicemente connesso, allora $\omega$ è esatta su $A$.
se $\omega$ è chiusa ed esatta su $A$, allora $A$ è semplicemente connesso;
mentre la proposizione corretta è
se $\omega$ è chiusa e $A$ è semplicemente connesso, allora $\omega$ è esatta su $A$.
Scusatemi se recupero questa discussione, ma leggendo le varie risposte non sono riuscito a capire come si caratterizza una forma radiale :S
Se per esempio ho una forma del tipo: $ omega= (sqrt(x^2+y^2) + x^2/(sqrt(x^2+y^2))) dx+(xy)/(sqrt(x^2+y^2))dy $ , ho provato a risolverla e trovare una primitiva col metodo generale ma viene impossibile :S.. Posso immaginare che sia radiale ma non so come comportarmi in questo caso, cosa dovrei fare?? :S
Grazie a tutti!!
Se per esempio ho una forma del tipo: $ omega= (sqrt(x^2+y^2) + x^2/(sqrt(x^2+y^2))) dx+(xy)/(sqrt(x^2+y^2))dy $ , ho provato a risolverla e trovare una primitiva col metodo generale ma viene impossibile :S.. Posso immaginare che sia radiale ma non so come comportarmi in questo caso, cosa dovrei fare?? :S
Grazie a tutti!!
A me non pare radiale, sinceramente. E se devo essere sincero, messa così non mi pare neanche chiusa.
Per essere chiusa è chiusa, l'ho controllato direttamente vedendo le derivate ( $ (del a(x,y))/(del y) $ e $ (del b(x,y))/(del x) $ ), ma quando vado a svolgerla per trovare la famiglia di primitive, mi trovo a dover fare un integrale del tipo $ int sqrt(x^2+y^2) + x^2/(sqrt(x^2+y^2)) dx $ , che è abbastanza difficile!! Per questo volevo cercare di trovare un metodo un po' più semplice..
Ma non è meglio integrare l'altro termine? 
$\int\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dy=x\sqrt{x^2+y^2}+g(x)$
Perché vi perdete nelle banalità più atroci?
P.S.: in ogni caso, dove è chiusa (e quindi esatta) quella forma?
$\int\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}\ dy=x\sqrt{x^2+y^2}+g(x)$
Perché vi perdete nelle banalità più atroci?
P.S.: in ogni caso, dove è chiusa (e quindi esatta) quella forma?
A integrare l'altro termine non ci avevo mai pensato!! :S Pardon
Comunque a me facendo le derivate risulta chiusa.. ho provato un sacco di volte e mi vengono sempre uguali..
In ogni caso grazie!!
Comunque a me facendo le derivate risulta chiusa.. ho provato un sacco di volte e mi vengono sempre uguali..
In ogni caso grazie!!
Sì, è chiusa... altrimenti non ti avrei detto di integrare l'altro termine. Quello che chiedevo è qual è l'insieme su cui risulta chiusa!
Ah!! Scusami, non avevo capito Comunque risulta chiusa in $ (x,y) != (0,0) $ , e forse perchè la primitiva non è derivabile in quel punto giusto??
Comunque risulta chiusa in $ (x,y) != (0,0) $ , e forse perchè la primitiva non è derivabile in quel punto giusto??
Basta semplicemente osservare che le componenti della forma non sono definite in $(0,=)$. A questo punto, però, ti chiedo: la forma è chiusa su $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ che non è semplicemente connesso. Quindi dove è esatta?
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