Forma differenziale - potenziale
Ciao a tutti, ho un problema, ma non riesco a capire dove.
Il problema è semplicissimo, ma mi viene sbagliato. potreste correggermi?
Trovare il potenziale di $x/(x^2+y^2) dx + y/(x^2+y^2) dy$
ho già verificato che la forma sia chiusa e quindi esatta in $RR^2$. Se ne cerco il potenziale:
$p_x = x/(x^2+y^2) => p(x,y) = 1/2 log(x^2+y^2) + phi(y)$
$=> p_y = y/(x^2+y^2)+phi_y(y)$ ma voglio che $p_y = y/(x^2+y^2) => phi_y(y) = 0$
$=> p(x,y) = 1/2 log(x^2+y^2)$ che è sbagliato in quanto dovrebbe fare $p(x,y) = log(x^2+y^2)$
Il problema è semplicissimo, ma mi viene sbagliato. potreste correggermi?
Trovare il potenziale di $x/(x^2+y^2) dx + y/(x^2+y^2) dy$
ho già verificato che la forma sia chiusa e quindi esatta in $RR^2$. Se ne cerco il potenziale:
$p_x = x/(x^2+y^2) => p(x,y) = 1/2 log(x^2+y^2) + phi(y)$
$=> p_y = y/(x^2+y^2)+phi_y(y)$ ma voglio che $p_y = y/(x^2+y^2) => phi_y(y) = 0$
$=> p(x,y) = 1/2 log(x^2+y^2)$ che è sbagliato in quanto dovrebbe fare $p(x,y) = log(x^2+y^2)$
Risposte
Come hai giustamente osservato, la forma differenziale è chiusa e esatta.
Una primitiva è $F(x,y)=1/2*log(x^2+y^2)$. Se derivi rispetto a $x$ e $y$, vedi subito che torna.
Una primitiva è $F(x,y)=1/2*log(x^2+y^2)$. Se derivi rispetto a $x$ e $y$, vedi subito che torna.
allora è sbagliata la sol scritta dal prof?
Attenzione che la forma è sì chiusa ma su un dominio che non è semplicemente connesso, poichè è tutto $\RR^2$ tranne l'origine, dove la forma non è definita. Dunque l'esattezza non discende dalla chiusura.
in definitiva è giusto o no?
La primitiva giusta è quella che trovi tu.
Infatti se $p(x,y)=1/2 \ln(x^2+y^2)$ vedi facilmente che
${\partial p}/{\partial x}(x,y)=1/2\frac{1}{x^2+y^2}2x=\frac{x}{x^2+y^2}$
e
${\partial p}/{\partial y}(x,y)=1/2\frac{1}{x^2+y^2}2y=\frac{y}{x^2+y^2}$
Non è che il prof aveva scritto $p(x,y)= \ln(\sqrt{x^2+y^2})$ ?
Comunque stai attento perche', come ti è stato fatto notare, non puoi dire in questo caso che chiusa implica esatta
(anche se poi è vero per questa funzione particolare) - oltretutto nel tuo ragionamento (corretto) non hai mai usato
questa implicazione
Infatti se $p(x,y)=1/2 \ln(x^2+y^2)$ vedi facilmente che
${\partial p}/{\partial x}(x,y)=1/2\frac{1}{x^2+y^2}2x=\frac{x}{x^2+y^2}$
e
${\partial p}/{\partial y}(x,y)=1/2\frac{1}{x^2+y^2}2y=\frac{y}{x^2+y^2}$
Non è che il prof aveva scritto $p(x,y)= \ln(\sqrt{x^2+y^2})$ ?
Comunque stai attento perche', come ti è stato fatto notare, non puoi dire in questo caso che chiusa implica esatta
(anche se poi è vero per questa funzione particolare) - oltretutto nel tuo ragionamento (corretto) non hai mai usato
questa implicazione
Un'altro es simile, questa volta l'ho risolto, ditemi solo se è giusto o dove ho sbagliato.
Calcolare $int_gamma y^6*z dx + (6*x*y^5*z+7) dy + x*y^6 dz$ con $gamma(t) = (cos(2*pi*t),sin(2*pi*t),e^t) 0<=t<=1$
allora, io ho verificato che la forma sia chiusa ed essendon in $RR^3$ sarà anche esatta.
-Ho verificato che il rotore fosse = 0.
quindi ne ho cercato il potenziale
$p_x = y^6*z => p(x,y,z)=y^6*z*x+phi(y,z)$
$=> p_z = y^6*x+phi_z'=x*y^6$
$=> phi_z' = 0 => phi(y,z) = 0$ ma può ancora esistere una $phi(y)$
$p_y=6*y^5*z*x + phi_y' = 6*x*y^5*z+7$
$=> phi_y'=7 => phy(y) = 7y$
$=> p(x,y,z) = y^6*z*x+7y+c$ e quindi
$int_gamma y^6*z dx + (6*x*y^5*z+7) dy + x*y^6 dz = p(1,0,1)-p(1,0e) = 0$ è giusta?
PS1: ma essendo anche una forma esatta, non dovrebbe essere che solo l'integrale chiuso dà 0?
PS2: nel primo punto dell'esercizio ho scritto: $p_x = y^6*z => p(x,y,z)=y^6*z*x+phi(y,z)$ va bene o è meglio scrivere $p_x = y^6*z => (x,y,z)=y^6*z*x+phi(y)+csi(z)$ e poi risolvere senza osservare che poi potrebbe esistere una $phi(y)$?
PS3:quando posso cambiare il percorso per calcolare l'integrale tenendo fissi gli estremi di integrazione? Quando è chiusa ma non esatta?
Grazie
Calcolare $int_gamma y^6*z dx + (6*x*y^5*z+7) dy + x*y^6 dz$ con $gamma(t) = (cos(2*pi*t),sin(2*pi*t),e^t) 0<=t<=1$
allora, io ho verificato che la forma sia chiusa ed essendon in $RR^3$ sarà anche esatta.
-Ho verificato che il rotore fosse = 0.
quindi ne ho cercato il potenziale
$p_x = y^6*z => p(x,y,z)=y^6*z*x+phi(y,z)$
$=> p_z = y^6*x+phi_z'=x*y^6$
$=> phi_z' = 0 => phi(y,z) = 0$ ma può ancora esistere una $phi(y)$
$p_y=6*y^5*z*x + phi_y' = 6*x*y^5*z+7$
$=> phi_y'=7 => phy(y) = 7y$
$=> p(x,y,z) = y^6*z*x+7y+c$ e quindi
$int_gamma y^6*z dx + (6*x*y^5*z+7) dy + x*y^6 dz = p(1,0,1)-p(1,0e) = 0$ è giusta?
PS1: ma essendo anche una forma esatta, non dovrebbe essere che solo l'integrale chiuso dà 0?
PS2: nel primo punto dell'esercizio ho scritto: $p_x = y^6*z => p(x,y,z)=y^6*z*x+phi(y,z)$ va bene o è meglio scrivere $p_x = y^6*z => (x,y,z)=y^6*z*x+phi(y)+csi(z)$ e poi risolvere senza osservare che poi potrebbe esistere una $phi(y)$?
PS3:quando posso cambiare il percorso per calcolare l'integrale tenendo fissi gli estremi di integrazione? Quando è chiusa ma non esatta?
Grazie
L'esercizio è fatto bene - il potenziale è corretto 
(1) Non è detto che l'integrale sia nullo SOLO sulle curve chiuse. Se la curva parte e arriva
in due punti allo stesso livello del potenziale l'integrale è nullo.
Se costeggi una montagna senza salire né scendere non dovresti fare fatica (a parte l'attrito ...)
(2) La prima che ha detto - non è vero in generale che una funzione di $y$ e $z$ sia somma di una funzione di $y$ più
una funzione di $z$
(3) Se vuoi che l'integrale sia INDIPENDENTE DALLA CURVA (tra tutte quelle che congiungono due punti dati), allora
questo equivale a dire che la forma è esatta. Se sai solo che la curva è chiusa allora l'integrale su due curve aventi gli stessi estremi
è lo stesso se la forma è regolare in tutto "lo spazio tra le due curve", cioè se puoi deformare con continuità una curva nell'altra, rimanendo
sempre dove la forma esiste ed è regolare (detto in maniera approssimativa). Se invece tra le due curve c'è una singolarità per la forma,
allora l'integrale PUO' essere diverso
(1) Non è detto che l'integrale sia nullo SOLO sulle curve chiuse. Se la curva parte e arriva
in due punti allo stesso livello del potenziale l'integrale è nullo.
Se costeggi una montagna senza salire né scendere non dovresti fare fatica (a parte l'attrito ...)
(2) La prima che ha detto - non è vero in generale che una funzione di $y$ e $z$ sia somma di una funzione di $y$ più
una funzione di $z$
(3) Se vuoi che l'integrale sia INDIPENDENTE DALLA CURVA (tra tutte quelle che congiungono due punti dati), allora
questo equivale a dire che la forma è esatta. Se sai solo che la curva è chiusa allora l'integrale su due curve aventi gli stessi estremi
è lo stesso se la forma è regolare in tutto "lo spazio tra le due curve", cioè se puoi deformare con continuità una curva nell'altra, rimanendo
sempre dove la forma esiste ed è regolare (detto in maniera approssimativa). Se invece tra le due curve c'è una singolarità per la forma,
allora l'integrale PUO' essere diverso
"ViciousGoblinEnters":Davvero 1000 grazie per le tue risposte. (se tutti i prof di matematica spiegassero così...non farei tutta sta fatica).
L'esercizio è fatto bene - il potenziale è corretto
(1) Non è detto che l'integrale sia nullo SOLO sulle curve chiuse. Se la curva parte e arriva
in due punti allo stesso livello del potenziale l'integrale è nullo.
Se costeggi una montagna senza salire né scendere non dovresti fare fatica (a parte l'attrito ...)
(2) La prima che ha detto - non è vero in generale che una funzione di $y$ e $z$ sia somma di una funzione di $y$ più
una funzione di $z$
(3) Se vuoi che l'integrale sia INDIPENDENTE DALLA CURVA (tra tutte quelle che congiungono due punti dati), allora
questo equivale a dire che la forma è esatta. Se sai solo che la curva è chiusa allora l'integrale su due curve aventi gli stessi estremi
è lo stesso se la forma è regolare in tutto "lo spazio tra le due curve", cioè se puoi deformare con continuità una curva nell'altra, rimanendo
sempre dove la forma esiste ed è regolare (detto in maniera approssimativa). Se invece tra le due curve c'è una singolarità per la forma,
allora l'integrale PUO' essere diverso
A questo punto ti chiedo. se io ho una forma chiusa, ma non esatta. E ne ho una nè chiusa e quindi tantomeno è esatta. Che vantaggi ho nel calcolo della prima rispetto alla seconda in un generico integrale?
Cioè in parole povere: ho 2 integrali (generici). Uno presenta una forma chiusa ma non esatta, l'altro nemmeno chiusa. Che vantaggi mi dà il primo rispetto al secondo?
La domanda è impegnativa - una risposta esauriente richiederebbe una parte teorica che
probabilmente non conosci e forse non ti serve.
Provo a farti un esempio di come la chiusura di una forma possa aiutare.
Prendi la forma $-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$ che è definita
nel piano meno l'origine e (come forse avrai già visto) è chiusa ma non esatta.
Mettiamo che tu debba calcolarne l'integrale sul segmento che congiunge i punti
$P=(\sqrt{2},0)$ e $Q=(1,1)$. Seguendo pedissequamente le definizioni potresti parametrizzare
il segmento nel modo usuale e trovarti da calcolare un integrale un po' complicato (prova!)
Dato però che la forma è chiusa puoi sostituire il segmento con l'arco di circonferenza antiorario tra
$P$ e $Q$ (perchè la forma è definita e regolare nello spazio tra il segmento e l'arco);
questo secondo integrale è assai più semplice, viene:
$\int_0^{\pi/4}(\frac{(-\sqrt{2}\sin(t))(-\sqrt{2}\sin(t))}{2\cos^2(t)+2\sin^2(t)}+\frac{\sqrt{2}\cos(t)\sqrt{2}\cos(t)}{2\cos^2(t)+2\sin^2(t)}) dt=\pi/4$
Nota che NON puoi usare l'arco tra $P$ e $Q$ che gira in verso orario, perchè in questo caso l'origine starebbe tra il segmento e tale arco, impedendoti
di concludere che gli integrali sono gli stessi.
Se tu cercassi una primitiva per la forma (è un po' laborioso) troveresti $p(x,y)=Arg(x,y)$, cioè l'angolo tra il vettore $(x,y)$ e l'asse $x$ -
tale funzione però non si può definire con continuità su tutto il piano meno l'origine.
Se però ti metti in $A={(x,y), x>0}$ una primitiva la trovi ($A$ non ha buchi e la forma è chiusa) : $p(x,y)=\arctan(y/x)$ e allora
per ogni curva CHE VIAGGIA SOLO IN $A$ l'integrale della forma è pari alla differenza di $p$ tra gli estremi della curva.
Nel caso di prima hai $p(1,1)-p(1,0)=\arctan(1)-\arctan(0)=\pi/4$
Non sono però sicuro che tutto questo ti serva veramente.
probabilmente non conosci e forse non ti serve.
Provo a farti un esempio di come la chiusura di una forma possa aiutare.
Prendi la forma $-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$ che è definita
nel piano meno l'origine e (come forse avrai già visto) è chiusa ma non esatta.
Mettiamo che tu debba calcolarne l'integrale sul segmento che congiunge i punti
$P=(\sqrt{2},0)$ e $Q=(1,1)$. Seguendo pedissequamente le definizioni potresti parametrizzare
il segmento nel modo usuale e trovarti da calcolare un integrale un po' complicato (prova!)
Dato però che la forma è chiusa puoi sostituire il segmento con l'arco di circonferenza antiorario tra
$P$ e $Q$ (perchè la forma è definita e regolare nello spazio tra il segmento e l'arco);
questo secondo integrale è assai più semplice, viene:
$\int_0^{\pi/4}(\frac{(-\sqrt{2}\sin(t))(-\sqrt{2}\sin(t))}{2\cos^2(t)+2\sin^2(t)}+\frac{\sqrt{2}\cos(t)\sqrt{2}\cos(t)}{2\cos^2(t)+2\sin^2(t)}) dt=\pi/4$
Nota che NON puoi usare l'arco tra $P$ e $Q$ che gira in verso orario, perchè in questo caso l'origine starebbe tra il segmento e tale arco, impedendoti
di concludere che gli integrali sono gli stessi.
Se tu cercassi una primitiva per la forma (è un po' laborioso) troveresti $p(x,y)=Arg(x,y)$, cioè l'angolo tra il vettore $(x,y)$ e l'asse $x$ -
tale funzione però non si può definire con continuità su tutto il piano meno l'origine.
Se però ti metti in $A={(x,y), x>0}$ una primitiva la trovi ($A$ non ha buchi e la forma è chiusa) : $p(x,y)=\arctan(y/x)$ e allora
per ogni curva CHE VIAGGIA SOLO IN $A$ l'integrale della forma è pari alla differenza di $p$ tra gli estremi della curva.
Nel caso di prima hai $p(1,1)-p(1,0)=\arctan(1)-\arctan(0)=\pi/4$
Non sono però sicuro che tutto questo ti serva veramente.
probabilmente non mi servirà ma ti ringrazio comunque lo stesso x la spiegazione. Un pò di approfondimento non fa mai male. Grazie ancora. Ps: non è che mi daresti na mano sul topic x gli integrali multipli con i 2 es che ho postato? 
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