Forma differenziale Lineare

[Nash88]

Salve ragazzi. Oggi ho sostenuto l'esame di Analisi II e mi è stato assegnato un esercizio (presumo sulle forme differenziali lineari) ma non sono riuscito a trovare una risoluzione più o meno plausibile e quindi chiedo il vostro parere.
La forma diff è la seguente:
$ int_(del D+) ( 2/(x^2-2x-8)+1/((x+y)^6+1))dx+(1/((x+y)^6+1))dy $
dove $ del D+ $ è la semicirconferenza di equazione $ x^2+y^2 = 2 $ orientata in verso antiorario di primo estremo (-1,1) e secondo estremo (1,-1).

Questa è la traccia. La prima cosa che ho pensato di fare è passare in coordinate polari, ma l'integrale sembra quasi impossibile da risolvere. Poi successivamente ho provato ad applicare Stokes, ma l'integrale rimane comunque di difficile risoluzione. Grazie per l'aiuto.

[pater46]

Allora, io sono ancora alle prime armi con le forme differenziali, però mi piace esercitarmi

Anche io userei le coordinate polari, così facendo otterremmo
$ { ( x = 2 cos t ),( y = 2 sin t ):} $ con $ t \in "[" 3\pi/4, 7\pi/4 "]" $

confermi?

La forma la riscriviamo come:

$ ( 1/(cos^2t -cost -2) + 1/(2^6sin^3(2t)+1)) \cdot ( -2sint ) + 1/(2^6sin^3(2t)+1) \cdot (2 cost) $.

Ho integrato un primo pezzo:

$int (sint)/(cos^2t - cost -2) dt = 1/6 ln| (cost-2)/(cost+1)| $

Gli altri sono un pò ostici, vediamo se wolfram mi può aiutare Finora che ne dici?

PS: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sint%2F%282^6%28sin2t%29^3%2B1%29

Wolfram mi scoraggia non poco Vediamo dove ho sbagliato :\

[lorenzorus]

la forma differenziale sembra essere chiusa in un insieme semplicemente connesso -2

Cita

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[j18eos]

L'equazione parametrica della semicirconferenza data è: [tex]\begin{cases}x=\sqrt2\cos t\\y=\sqrt2\sin t\end{cases} t\in[0;\pi][/tex]

[Nash88]

"lorenzorus":la forma differenziale sembra essere chiusa in un insieme semplicemente connesso -2

Giustissimo, mi hai illuminato. Adesso cerco di mettere nero su bianco . GRAZIE.

[Nash88]

Ok, sono riuscito a dimostrare che la forma differenziale è chiusa quindi esatta. Adesso per calcolare l'integrale agli estremi, ho bisogno di calcolare una primitiva della forma differenziale che abbia: $ (del F(x,y)) /( del x )= 2/(x^2-2x-8)+1/((x+y)^6+1) $ , quindi che: $ F(x,y) = int_()2/(x^2-2x-8)+1/((x+y)^6+1) dx $


Il primo integrale si risolve tranquillamente con le regole di integrazione di polinomi, ma il secondo? Ho provato a sostituire x+y = t, ma non trovo nulla di interessante.

[j18eos]

Io porrei [tex](x+y)^6=t^2\iff(x+y)^3=t[/tex] così da avere una forma nota!

[wolf90]

Provate a fare l'integrale con Wolfram Alpha, e vedrete che viene una roba abbastanza lunga, siete sicuri che il metodo sia quello giusto?

http://integrals.wolfram.com/index.jsp? ... 28x%2By%29^6%2B1%29&random=false

[j18eos]

Già visto! Dico pure che secondo il Wolfram certi miei integrali sono ancora più lunghi (a confronto) quando poi si possono scrivere in 4 schizzi.

[Nash88]

Vabbè, a questo punto non mi rimane che dire: " Alla correzione vedremo la soluzione". Grazie a tutti per l'aiuto

[Nash88]

Forsa la cosa più ovvia da fare è usare la formula di stokes:
$ int int_(D) ((del f2)/(del x)-(del f1)/(del y))dxdy=int_(delD+ ) f1dx+f2dy $
Quindi ottenere:
$ int int_(D) dxdy $
A questo punto passando a coordinate polari:
$ { ( x=qcost ),( y=qsint ):} $ con $tin[0,pi]}$ e $qin[-sqrt(2),sqrt(2)]}$
Allora:

$ int_(0)^(pi) dt int_(-sqrt(2))^(sqrt(2)) dq= 2pisqrt(2) $

Magari ho inventato qualcosa, però sembra la più plausibile per evitare integrali minacciosi.

[legendre]

Si hai un po' inventato qualcosa,ma Stokes e' uno strumento notevole :
$ int int_( D)^( )((del(1/((x+y)^6+1)))/(delx)-(del(2/(x^2-2x-8)+1/((x+y)^6+1)))/(dely))dxdy$