Forma differenziale + Integrale doppio

[DieGoku1]

Ciao ragazzi, mi potete aiutare a svolgere questi due esercizi perpiacere?!?!

Grazie

[gugo82]

"DieGoku":

Ciao ragazzi, mi potete aiutare a svolgere questi due esercizi perpiacere?!?!

Grazie

Studiare una forma differenziale significa:

1) determinarne l'insieme di definizione e cercare di capirne "la forma" (intendo alcune proprietà topologiche elementari, come connessione o connessione semplice, o vettoriali, quali convessità o convessità rispetto ad un punto);
2) studiare la continuità dei coefficienti e la loro differenziabilità;
3) cercare di capire se i coefficienti soddisfano qualcuno dei criteri di esistenza di una primitiva;
4) individuare eventualmente qualche primitiva.

Riguardo la forma differenziale $omega=(xy^2)/(x^2+1)"d"x+y*(1+log(x^2+1))"d"y$ possiamo procedere come segue.
Innanzitutto notiamo che i coefficienti $f(x,y)=(xy^2)/(x^2+1)$ e $g(x,y)=y*(1+ln(x^2+1))$ sono definiti ovunque nel piano, cosicchè $omega$ è definita in $RR^2$ che è un insieme buono perchè semplicemente connesso (ciò ti fa ben sperare di riuscire ad applicare un noto criterio per l'esistenza delle primitive); i coefficienti $f,g$ sono continui in $RR^2$ ed ivi addirittura di classe $C^oo$.
Proviamo a vedere se i coefficienti soddisfano la condizione delle derivate in croce: abbiamo: $AA(x,y) in RR^2$,

$(\partial f)/(\partial y)(x,y)=(2xy)/(x^2+1) quad$ e $quad (\partial g)/(\partial x)(x,y)=(2xy)/(x^2+1)$,

onde $(\partial f)/(\partial y)=(\partial g)/(\partial x)$ identicamente in $RR^2$ e la condizione è soddisfatta ovunque. In questo caso si dice che la forma differenziale $omega$ è chiusa in $RR^2$.
Per un noto teorema, il fatto che $omega$ sia chiusa nell'insieme semplicemente connesso $RR^2$ ti assicura che $omega$ è esatta in $RR^2$, ossia che essa è dotata di almeno una primitiva $U(x,y)$ definita in tutto il piano. Qui hai risolto il grosso dell'esercizio; rimane da vedere se è possibile determinare esplicitamente una primitiva $U$ di $omega$: proviamo!
Per definizione, una funzione $U$ è primitiva di $omega$ in $RR^2$ se risulta $(\partial U)/(\partial x)=f$ e $(\partial U)/(\partial y)=g$ identicamente in $RR^2$. Dalla seconda uguaglianza si trae facilmente che se una tale $U$ esiste (e questo è il nostro caso), essa ha la forma:

$U(x,y)=\int_0^y g(x,eta) "d"eta +gamma(x)$,

ove $gamma:RRto RR$ è una funzione arbitraria della sola $x$ che sia almeno di classe $C^1$: nel nostro caso applicando la formula precedente troviamo che $U$ si può esprimere come:

$U(x,y)=\int_0^yeta*(1+ln(x^2+1))"d"eta +gamma(x)=(1+log(x^2+1))*\int_0^yeta"d"eta +gamma(x)=(y^2)/2*(1+log(x^2+1))+gamma(x)$;

derivando rispetto ad $x$ ed uguagliando la derivata alla funzione $f$ (ricordiamo la definizione di primitiva!) dovremmo riuscire a determinare $gamma$, a meno di una costante additiva arbitraria, per mezzo di un'equazione differenziale del primo ordine: abbiamo:

$(\partial U)/(\partial x)(x,y)=f(x,y) quad$ se e solo se $quad (xy^2)/(1+x^2)+gamma'(x)=(xy^2)/(x^2+1)$

da cui si trae facilmente:

$gamma'(x)=0 quad$ ossia $quad gamma(x)=costante$.

Ne consegue che la più generale primitiva della forma differenziale $omega$ in $RR^2$ è:

$U(x,y)=(y^2)/2*(1+log(x^2+1))+costante$

ove la $costante$ è da fissarsi in $RR$.
Quello che ho illustrato qui, con alcune piccole modifiche, si può considerare il metodo generale per il calcolo di una primitiva d'una forma differenziale esatta.

Spero di averti chiarito qualche dubbio.
Buono studio.

[gugo82]

"DieGoku":

Ciao ragazzi, mi potete aiutare a svolgere questi due esercizi perpiacere?!?!

Grazie

Il calcolo dell'integrale doppio si può fare ricorrendo alle formule di riduzione poichè $D$ è un dominio normale ad ognuno dei due assi coordinati di $RR^2$; l'unico problema è che l'integrando presenta una discontinuità in $(0,0)$ quindi probabilmente dovremo calcolare un'integrale improprio.
Visto che l'integrazione rispetto alla variabile $y$ risulta semplice, scegliamo di considerere $D$ come dominio normale all'asse $(x)$: abbiamo:

$D={(x,y)in RR^2:quad x in [0,1], y in[x^2,2-x]}$

e, posto $AAepsilon in ]0,1[, D_epsilon={(x,y)in RR^2:quad x in [epsilon,1], y in[x^2,2-x]}$ (in modo che "$D_epsilonto D$" quando $epsilon to 0^+$), l'integrale lo calcoliamo come segue:

$\int\int_D x/(x+y)^2 "d"x" d"y=lim_(epsilon to 0^+)\int\int_(D_epsilon) x/(x+y)^2 "d"x" d"y=$
$=lim_(epsilon to 0^+)\int_epsilon^1x(\int_(x^2)^(2-x)1/(x+y)^2" d"y)" d"x=lim_(epsilon to 0^+)\int_epsilon^1x*[-1/(x+y)]_(y=x^2)^(y=2-x)" d"x=$
$=lim_(epsilon to 0^+)\int_epsilon^1x*(1/(x+x^2)-1/2)" d"x=lim_(epsilon to 0^+)\int_epsilon^1(1/(1+x)-x/2)" d"x=$
$=lim_(epsilon to 0^+)[log(1+x)-(x^2)/4]_(x=epsilon)^(x=1)=lim_(epsilon to 0^+) log2-1/4-log(1+epsilon)+epsilon^2/4=$
$=log2-1/4$.

Nota che la semplificazione della $x$ al terzo rigo è lecita perchè in nessun $D_epsilon$ sono contenuti punti con ascissa nulla (giacché $AA epsilon in ]0,1[$ risulta $(x,y) in D_epsilon quad => quad xge epsilon >0$).

Sperando di non aver commesso errori grossolani, ti saluto di nuovo.