Forma differenziale, Integrale curvilineo e Lavoro

[al.tedesco]

Salve a tutti, sono nuovo e cerco aiuto! Ho svolto un esercizio sulle forme differenziali. Ecco a voi il testo:

Data la forma differenziale:

$ omega (x,y)=xln (1+y^2)dx+g(x,y)dy $

Sapendo che $ g(0,y)=0 $ , determinare $ g(x,y) $ in modo che $ omega (x,y) $ sia esatta. Calcolare l'integrale di $ omega (x,y) $ lungo la semicirconferenza definita da $ x^2+y^2=1 $ e $ x>=0 $ , orientata nel verso delle y crescenti.

Ho svolto così l'esercizio: ho calcolato $ g(x,y)=(x^2y)/(1+y^2) $ sfruttando le ipotesi di forma esatta e $ g(0,y)=0 $ . Dopodiché ho parametrizzato la curva in questo modo:

$ { ( x(t)=cos(t) ),( y(t)=sin(t) ):} -pi/2
Quindi viene fuori questo integrale:

$ int_(-pi/2)^(pi/2) (-sin(t)cos(t)ln(1+sin^2(t))+(sin(t)cos^3(t))/(1+sin^2(t))) dt $

Poiché sinceramente non so come calcolarlo (a proposito, se avete consigli su questo sono ben accetti!) ho usato Wolfram Alpha, che mi ha restituito 0 come risultato. Allora io, incuriosito e approfittando del fatto che la forma sia esatta, ho calcolato il lavoro tramite la differenza di Potenziale. Quindi ricavo il Potenziale e calcolo il Lavoro:

$ U(x,y)=x^2/2ln(1+y^2) $

$ L=P(0,1)-P(0,-1)=0 $

Anche in questo modo il risultato è zero! Ho sbagliato qualcosa? Se sì dove? Se non ho sbagliato, come mai il Lavoro è zero?

Apprezzo molto il lavoro che fate, buona serata e grazie per l'eventuale risposta

[Quinzio]

Non c'è nulla di strano e il risultato zero va bene.
Parlando in termini fisici, il campo di forze, che sarebbe la forma differenziale, in alcuni punti è "concorde" con il verso di percorrenza della curva, e per "concorde" intendo che il prodotto scalare velocità-vettore forza è positivo, in alcuni punti è negativo.
In alcuni tratti il campo compie lavoro, in altri tratto il campo "richiede" un lavoro. La somma netta è nulla.

[al.tedesco]

Grazie mille, Quinzio, molto esaustivo

Ho solo una domanda: come potrei risolvere quell'integrale? Ci sono metodi per semplificarlo? Un esercizio di questi all'esame e sono finito se mi chiede il lavoro tramite l'integrale!