Forma differenziale in tre dimensioni
Rieccomi con una nuova domanda
Purtroppo non trovo nel mio libro esercizi simili a quelli dei compiti d'esame
e alcuni non so mettere giù le mani
insomma come si vede la chiusura di tale forma differenziale?
$\omega = x(2 x^2 + y^2 + z^2)/((x^2 +y^2)(x^2 + z^2)) dx + y/(x^2 +y^2) dy + z/(x^2 +y^2) dz$
inoltre come faccio a parametrizzare:
calcola l'integrale curvilineo di $\omega$ lungo il segmento che unisce i punti $A(1,1,1)$ e $B(2,3,4)$ orientato da A a B
vorrei solo qualche dritta, i conti li faccio da me e semmai li posto.
grazie
Purtroppo non trovo nel mio libro esercizi simili a quelli dei compiti d'esame
e alcuni non so mettere giù le mani
insomma come si vede la chiusura di tale forma differenziale?
$\omega = x(2 x^2 + y^2 + z^2)/((x^2 +y^2)(x^2 + z^2)) dx + y/(x^2 +y^2) dy + z/(x^2 +y^2) dz$
inoltre come faccio a parametrizzare:
calcola l'integrale curvilineo di $\omega$ lungo il segmento che unisce i punti $A(1,1,1)$ e $B(2,3,4)$ orientato da A a B
vorrei solo qualche dritta, i conti li faccio da me e semmai li posto.
grazie
Risposte
Non so se in 3 dimensioni c'è una condizione equivalente alla uguaglianza delle derivate miste per dire che è chiusa.
In ogni caso, bisogna avere un po' di occhio e notare che
$x(2 x^2 + y^2 + z^2)/((x^2 +y^2)(x^2 + z^2))=x/(x^2+y^2)+x/(x^2+z^2)$
Un suo integrale è:
$1/2(log(x^2+y^2)+log(x^2+z^2))$
Derivando nella $y$ e nella $z$ hai esattamente le funzioni che moltiplicano $dy$ e $dz$, dunque la forma è chiusa.
In ogni caso, bisogna avere un po' di occhio e notare che
$x(2 x^2 + y^2 + z^2)/((x^2 +y^2)(x^2 + z^2))=x/(x^2+y^2)+x/(x^2+z^2)$
Un suo integrale è:
$1/2(log(x^2+y^2)+log(x^2+z^2))$
Derivando nella $y$ e nella $z$ hai esattamente le funzioni che moltiplicano $dy$ e $dz$, dunque la forma è chiusa.
mettiamo il caso che io non li sappia riconoscere xD
quindi soddisfa le regole di simmetria
$d/dy F_1 = d/dx F_2 $
$d/dz F_1 = d/dx F_2 $
ah! il dominio è connesso in 4 regioni del piano (ovvero R^3 - (0,0,0) , mi pare che non ci siano problemi in $R^3$ per i buchi se non mi sbaglio...
quindi soddisfa le regole di simmetria
$d/dy F_1 = d/dx F_2 $
$d/dz F_1 = d/dx F_2 $
ah! il dominio è connesso in 4 regioni del piano (ovvero R^3 - (0,0,0) , mi pare che non ci siano problemi in $R^3$ per i buchi se non mi sbaglio...
Non ho capito, cosa soddisfa le regole di simmetria ? Quale simmetria ?
Sui buchi nelle regioni dello spazio bisogna fare attenzione.
Ad esempio:
Una palla con all'interno una palla cava va bene.
Un toro non va bene.
Sui buchi nelle regioni dello spazio bisogna fare attenzione.
Ad esempio:
Una palla con all'interno una palla cava va bene.
Un toro non va bene.
per condizioni di simmetria intendevo le derivate in croce...
quindi l'unico modo è far considerazioni come le hai fatte tu.
la mia domanda è ora come parametrizzare il segmento che unisce A a B
$A = B + \beta w$
con $w$ una direzione...(che non conosco)
e scomporlo lungo x,y,z?
in $R^3$ per quanto ne so io viene fuori dall'intersezione di due piani, giusto?
quindi l'unico modo è far considerazioni come le hai fatte tu.
la mia domanda è ora come parametrizzare il segmento che unisce A a B
$A = B + \beta w$
con $w$ una direzione...(che non conosco)
e scomporlo lungo x,y,z?
in $R^3$ per quanto ne so io viene fuori dall'intersezione di due piani, giusto?
a) Si, ma qui per derivate in croce cosa si intende ? Prova !
b) No, non è necessario parametrizzare nessuna curva.
Adesso che hai un'integrale della forma differenziale, hai anche il potenziale (che è uguale all'integrale).
Per cui se l'integrale trovato è $F(x,y,z)$, devi calcolare $F(\bbB)-F(\bbA)$
c) Adesso che mi viene in mente un'alternativa se l'integrale generale non si riesce a calcolare, sapendo che la forma è chiusa, si può fare il cammino da A a B secondo dei tratti paralleli agli assi. In ognuno di questi 3 tratti, solo $dx$ o $dy$ o $dz$ a turno sono da valutare.
b) No, non è necessario parametrizzare nessuna curva.
Adesso che hai un'integrale della forma differenziale, hai anche il potenziale (che è uguale all'integrale).
Per cui se l'integrale trovato è $F(x,y,z)$, devi calcolare $F(\bbB)-F(\bbA)$
c) Adesso che mi viene in mente un'alternativa se l'integrale generale non si riesce a calcolare, sapendo che la forma è chiusa, si può fare il cammino da A a B secondo dei tratti paralleli agli assi. In ognuno di questi 3 tratti, solo $dx$ o $dy$ o $dz$ a turno sono da valutare.
(1) qui:
(2) hai ragione! si può anche fare, ma i conti sarebbero bruttissimi e lunghi
quindi trovato una primitiva U
basta fare la differenza $U(B) - U(A)$ se orientato da A a B
mentre se fosse il contrario , cioè orientato da B ad A si mette il meno davanti a quella roba?
(3) forse parametrizzando a tratti?
(2) hai ragione! si può anche fare, ma i conti sarebbero bruttissimi e lunghi
quindi trovato una primitiva U
basta fare la differenza $U(B) - U(A)$ se orientato da A a B
mentre se fosse il contrario , cioè orientato da B ad A si mette il meno davanti a quella roba?
(3) forse parametrizzando a tratti?
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