Forma differenziale in 3 variabili
Ciao a tutti 
Sto svolgendo un esercizio sulle forme differenziali in tre variabili e non riesco a capire un passaggio della soluzione proposta dal libro.
Data il campo $ F(x,y,z)=((senz)a(x,y),(senz)b(x,y),coszlog(x^2+y^4)) $ con dominio $ R^2-{0,0} $ x $ R $ ricavare a(x,y) e b(x,y) che rendono il campo irrotazionale e poi per gli a(x,y), b(x,y) per cui è anche conservativo trovare le primitive.
Ho ricavato a(x,y) e b(x,y) affinchè il rotore del campo fosse nullo e risultano $ a(x,y)= (4y^3)/(x^2+y^4) $ e $ b(x,y)=2x/(x^2+y^4) $. Il problema ora è quello di capire perchè il campo è conservativo, se l'insieme su cui è definito non è semplciemente connesso. La soluzione proposta dice che è immediato dire che sia conservativo, ma non capisco come.
Dovrei provare a calcolare direttamente il potenziale e vedere se è possibile, in caso lo fosse allora il campo è esatto?
Avete altre soluzioni?
Sto svolgendo un esercizio sulle forme differenziali in tre variabili e non riesco a capire un passaggio della soluzione proposta dal libro.
Data il campo $ F(x,y,z)=((senz)a(x,y),(senz)b(x,y),coszlog(x^2+y^4)) $ con dominio $ R^2-{0,0} $ x $ R $ ricavare a(x,y) e b(x,y) che rendono il campo irrotazionale e poi per gli a(x,y), b(x,y) per cui è anche conservativo trovare le primitive.
Ho ricavato a(x,y) e b(x,y) affinchè il rotore del campo fosse nullo e risultano $ a(x,y)= (4y^3)/(x^2+y^4) $ e $ b(x,y)=2x/(x^2+y^4) $. Il problema ora è quello di capire perchè il campo è conservativo, se l'insieme su cui è definito non è semplciemente connesso. La soluzione proposta dice che è immediato dire che sia conservativo, ma non capisco come.
Dovrei provare a calcolare direttamente il potenziale e vedere se è possibile, in caso lo fosse allora il campo è esatto?
Avete altre soluzioni?
Risposte
Esistono un sacco di forme differenziali esatte definite su domini semplicemente connessi, non vedo il problema.
E' un dominio non seplicemente connesso! Il mio dubbio non è che non sia una forma esatta in quanto non è semplciemente connesso il dominio su cui è definito,ma come dimostrare che sia esatta su questo tipo di dominio dato che non si può applicare il teorema di Poincarè.Il libro dice che è immediato capire che oltre ad essere chiusa è anche esatta, ma come?
Il libro dice che è immediato capire che oltre ad essere chiusa è anche esatta, ma come?
Semplicemente perché è evidente qual è una primitiva di quella funzione! Qual è il differenziale totale di $(x,y,z)mapsto \sin z \log(x^2+y^4)$?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo