Forma differenziale esatta: ragionamento corretto?
Ciao a tutti. Oggi ho provato a risolvere un esercizio con una forma differenziale di cui dovevo calcolare l'integrale lungo la curva. Vi propongo il testo e il mio ipotetico procedimento che ho usato per risolverlo, in modo da sapere se ciò che ho fatto è fantascienza o meno 
Esercizio:
Data la forma differenziale: $\omega= (xy)/sqrt(x^2+y^2) + (x^2+2y^2)/(sqrt(x^2+y^2))$ , calcolare
$\int_\gamma \omega$
dove $\gamma$ è la curva di equazione $(2+cost, 2sent)$ con $t in [0,pi]$
Svolgimento:
La forma differenziale è definita in $RR^2 - { (0,0) }$ che non è un insieme stellato, tuttavia, dal momento che la curva si trova interamente nel semipiano positivo di x, posso ragionare considerando come insieme $x>0$.
Svolgendo le derivate parziali, è facilmente dimostrabile che esse sono simmetriche, quindi la forma differenziale è chiusa e trovandosi in uno stellato è anche esatta.
Dal momento che è esatta, il risultato dell'integrale non dovrebbe cambiare scegliendo un'altra curva, a patto che quest'ultima abbia gli stessi punti iniziali e finali di quella di partenza.
I punti iniziali e finali della curva $\gamma$ sono rispettivamente: $P_i=(3,0), P_f=(1,0)$, il ché significa che la variabile $y$ non cambia e che in teoria posso prendere come nuova curva $\gamma_1$ il segmento parallelo all'asse x, tale che: $(a,0)$ con $a in [3,1]$.
Facendo le sostituzioni nell'integrale, otterrei qualcosa di simile:
$\int_3^1 (a*0)/sqrt(a^2+0) dx = 0$
Sarebbe giusto un procedimento del genere? Se no, come si deve risolvere questo esercizio?
Esercizio:
Data la forma differenziale: $\omega= (xy)/sqrt(x^2+y^2) + (x^2+2y^2)/(sqrt(x^2+y^2))$ , calcolare
$\int_\gamma \omega$
dove $\gamma$ è la curva di equazione $(2+cost, 2sent)$ con $t in [0,pi]$
Svolgimento:
La forma differenziale è definita in $RR^2 - { (0,0) }$ che non è un insieme stellato, tuttavia, dal momento che la curva si trova interamente nel semipiano positivo di x, posso ragionare considerando come insieme $x>0$.
Svolgendo le derivate parziali, è facilmente dimostrabile che esse sono simmetriche, quindi la forma differenziale è chiusa e trovandosi in uno stellato è anche esatta.
Dal momento che è esatta, il risultato dell'integrale non dovrebbe cambiare scegliendo un'altra curva, a patto che quest'ultima abbia gli stessi punti iniziali e finali di quella di partenza.
I punti iniziali e finali della curva $\gamma$ sono rispettivamente: $P_i=(3,0), P_f=(1,0)$, il ché significa che la variabile $y$ non cambia e che in teoria posso prendere come nuova curva $\gamma_1$ il segmento parallelo all'asse x, tale che: $(a,0)$ con $a in [3,1]$.
Facendo le sostituzioni nell'integrale, otterrei qualcosa di simile:
$\int_3^1 (a*0)/sqrt(a^2+0) dx = 0$
Sarebbe giusto un procedimento del genere? Se no, come si deve risolvere questo esercizio?
Risposte
Mi pare giusto e molto ben fatto. Hai solo dimenticato i $dx$ e $dy$ nell'espressione di $\omega$.
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