Forma differenziale esatta e chiusa:

[Roslyn]

Ho tale forma:

$w= y/(x(x+y)) dx+ x/(y(x+y)) dy$ Ho dimostrato che essa è chiusa, mi resta da dimostrare che essa è esatta. Innanzitutto il dominio è $R^2$ con $(x,y)!=(0,0)$ e$ y!=-x$ Ora per dimostrare che è esatta devo vedere se trovo una primitiva?

[gugo82]

Ci sono caratterizzazioni dell'esattezza.
A te scegliere quella che ritieni più opportuna, dopo averci ragionato sopra.

[Roslyn]

Io direi , che la forma è esatta nei 6 insiemi che si vengono a formare, in quanto sono insiemi semplicemente connessi e ivi la forma è chiusa. Può andare?

[gugo82]

Certo che può andare.
Poi, se vuoi, puoi pure calcolare una primitiva (cosa che si fa a mano, senza difficoltà) per ogni settore.

[Roslyn]

Ora provo a calcolarla, posto postarla qui, per vedere se faccio bene?

[Roslyn]

Eccomi qui. Allora integro la prima parte rispetto ad x ed ottengo:
$int y/(x(x+y)) dx = ln(x)-ln(x+y)+ c(y) $
ora derivo ciò che ho ottenuto rispetto ad y ottenendo:
$-1/(x+y)+ c'(y)$ e lo uguaglio al secondo membro della forma differenziale ottenendo:
$-1/(x+y)+ c'(y)=x/(y(x+y))$ mi ricavo $c'(y)$ e lo integro ottenendo$ c(y)= ln(y)$
Ora quindi la primitiva mi risulta essere $ln(x)-ln(x+y)+ln(y)$
L'esercizio mi chiede di calcolarla nel punto $(1,1)$ , ed ottengo che è uguale a$ -ln(2)$. Giusto come procedo?

[gugo82]

Non è del tutto corretto, perché ti mancano una costante d'integrazione e qualche valore assoluto e non hai indicato il dominio della primitiva.

Ovviamente la questione dei valori assoluti è strettamente legata al dominio, quindi se specifichi l'uno, risolvi anche l'altro problema.

[Roslyn]

Dove manca la costante di integrazione? comunque volendo trovare la primitiva in (1,1) lavoro nel primo quadrante, dove sia la x che la y è positiva e quindi posso togliere il valore assoluto, giusto? negli altri casi devo vedere i segni a seconda di dove mi trovo.

[gugo82]

Manca qui:

"Roslyn":$ -1/(x+y)+ c'(y)=x/(y(x+y)) $ mi ricavo $ c'(y) $ e lo integro ottenendo$ c(y)= ln(y) $