Forma differenziale esatta e calcolo di una primitiva

[angelo.intile]

Ragazzi ho la seguente equazione differenziale

$omega=(y+(2x)/(x^2+y+1))dx+(x+(1)/(x^2+y+1))dy$

Facendo le derivate parziali in croce si nota che sono uguali, quindi la forma differenziale è chiusa.

Adesso sto facendo il calcolo della primitiva calcolando $int beta(x,y)=xy+ln(y+x^2+1)+c(x)$ , poi l'ho derivato rispetto alla variabile $x$ e l'ho posto uguale ad $alpha(x,y)$ per trovarmi il valore di $c(x)$.

Il valore di $c(x)$ mi viene uguale a $0+k$, essendo $c'(x)=0$.

Una primitiva sarà quindi $f(x,y)=xy+ln(y+x^2+1)+k$ , oppure ho sbagliato il procedimento in qualche punto ?

P.S.: Per il dominio di deve imporre $x^2+y+1ne0$, e quindi come si riscrive questa condizione ?

[quantunquemente]

si può benissimo verificare se una funzione è una primitiva ,calcolando $ (partialf)/(partial x) $ e $ (partialf)/(partial y) $
il dominio della forma differenziale è $mathbbR^2$ escluso i punti della parabola $y=-1-x^2$
una primitiva valida sia per il caso in cui $y+x^2+1>0$ che per quello in cui è $y+x^2+1<0$ è
$f(x,y)=xy+ln|y+x^2+1|$

[angelo.intile]

"quantunquemente":si può benissimo verificare se una funzione è una primitiva ,calcolando $ (partialf)/(partial x) $ e $ (partialf)/(partial y) $
il dominio della forma differenziale è $mathbbR^2$ escluso i punti della parabola $y=-1-x^2$
una primitiva valida sia per il caso in cui $y+x^2+1>0$ che per quello in cui è $y+x^2+1<0$ è
$f(x,y)=xy+ln|y+x^2+1|$

Grazie