Forma differenziale esatta
Non riesco a capire perchè questa forma differenziale nn sia esatta
y=-y(x^2+y^2)dx + x/(x^2+y^2)dy
il fatto è che a me viene esatta
vi elenco la mia procedura
calcolo l'integrale di -y/(x^2+y^2)dx
l'integrale F= -Arctg(x/y)+c(y)
derivo F rispetto a y è mi viene x/(x^2+y^2)
uguaglio rispetto alla 2
e viene
x/(x^2+y^2) +c'(y)=x/(x^2+y^2)
c(y)=0
essendo che la derivata di F=-Arctan(x/y) rispetto a x=-y(x^2+y^2) e rispetto a y=x/(x^2+y^2)
concludo che 'è esatta ma il libro dice che nn lo è
VI PREGO AIUTATEMI XKE DOMANI HO L'ESAME!!!!
y=-y(x^2+y^2)dx + x/(x^2+y^2)dy
il fatto è che a me viene esatta
vi elenco la mia procedura
calcolo l'integrale di -y/(x^2+y^2)dx
l'integrale F= -Arctg(x/y)+c(y)
derivo F rispetto a y è mi viene x/(x^2+y^2)
uguaglio rispetto alla 2
e viene
x/(x^2+y^2) +c'(y)=x/(x^2+y^2)
c(y)=0
essendo che la derivata di F=-Arctan(x/y) rispetto a x=-y(x^2+y^2) e rispetto a y=x/(x^2+y^2)
concludo che 'è esatta ma il libro dice che nn lo è
VI PREGO AIUTATEMI XKE DOMANI HO L'ESAME!!!!
Risposte
Il problema è un po' più delicato di quanto non sembri.
Se provi ad integrare la tua forma differenziale sulla circonferenza di raggio $1$ e centro l'origine, troverai che l'integrale è non nullo; quindi la forma differenziale non può essere esatta.
Che la forma non sia esatta è collegato al fatto che, in effetti, la primitiva determinata col metodo che hai usato è definita per $y!=0$, ossia in $RR^2$ privato dell'asse $x$, e non in tutto $RR$.
Se provi ad integrare la tua forma differenziale sulla circonferenza di raggio $1$ e centro l'origine, troverai che l'integrale è non nullo; quindi la forma differenziale non può essere esatta.
Che la forma non sia esatta è collegato al fatto che, in effetti, la primitiva determinata col metodo che hai usato è definita per $y!=0$, ossia in $RR^2$ privato dell'asse $x$, e non in tutto $RR$.
quindi per mettermi al sicuro svolgo l'integrale sulla circonferenza e verifico che questo sia 0 per essere esatto?
"skipper":
quindi per mettermi al sicuro svolgo l'integrale sulla circonferenza e verifico che questo sia 0 per essere esatto?
Puoi fare così e sicuramente ti togli ogni dubbio. Però è anche la strada più laboriosa perchè devi scegliere una curva, parametrizzarla e calcolare l'integrale....cosa che non è sempre agevolissima. L'altra strada è quella di verificare le condizioni del teorema sulle forme differenziali esatte. Non ricordo con quale nome sia noto però il succo è che
Una forma differenziale $dF = f dx + g dy$ è esatta se è chiusa in un dominio semplicemente connesso
Quindi hai due "ingredienti": il fatto che la forma differenziale sia chiusa, cioè che valga la condizione $(\partial g)/(\partial x) - (\partial f)/(\partial y)$, e che questo avvenga in un dominio semplicemente connesso. Il punto è che non è molto preciso dire la forma differenziale è esatta, perchè in generale non lo sai. Dovresti dire che la forma è esatta nel dominio D cioè specificare l'insieme su cui stai affermando la proprietà di esattezza. Nel tuo esempio vedi che la forma differenziale non è definita nel punto $(0,0)$ quindi la forma è esatta nel dominio $D=RR^2 \ {(0,0)}$. Questo implica che l'integrale lungo una curva chiusa che non contiene l'origine è nullo. Però, come dice Gugo, se la curva contiene l'origine il discorso sull'esattezza salta e non puoi più dire che l'integrale si annulla.
Spero di non averti incasinato....
La condizione di chiusura in una semplicemente connesso è sufficiente all'esattezza; però se salta l'ipotesi della connessione semplice, la condizione di chiusura non sempre assicura l'esattezza della forma.
D'altra parte, esistono forme differenziali esatte (e quindi chiuse) in insiemi che non sono semplicemente connessi: basti pensare alla forma:
$x/(\sqrt(x^2+y^2))" d"x+y/(\sqrt(x^2+y^2))" d"y$
che è definita in $RR^2\setminus \{ (0,0)\}$ (non connesso semplicemente) ed esatta (la primitiva è $F(x,y)=\sqrt(x^2+y^2)$); in questo caso se prendi una qualunque curva chiusa intorno a $(0,0)$ trovi integrale di linea nullo.
Il problema nel caso in esame, come ho detto, è che il metodo di calcolo della primitiva ti porta a "dividere" per una variabile (nei calcoli presentati si divide per $y$) e questa operazione porta automaticamente ad escludere l'asse $x$ dai giochi; l'escludere l'asse $x$ inoltre rompe la connessione di $RR^2\setminus \{ (0,0)\}$, poiché infatti il piano privato dell'asse è fatto di due componenti connesse (i semipiani $y>0$ e $y<0$), quindi è naturale che la primitiva $arctg(x/y)$ vada bene solo in una delle due componenti e non nell'altra.
Noto però che, con un po' di voglia, si può prolungare la primitiva conservando continuità e derivabilità su $RR^2$ meno il semiasse positivo delle $x$: questo è il massimo che si può fare se si vuole mantenere continuità e derivabilità; altrimenti andiamo a finire dentro le funzioni plurivoche che sono un argomento un po' delicato.
D'altra parte, esistono forme differenziali esatte (e quindi chiuse) in insiemi che non sono semplicemente connessi: basti pensare alla forma:
$x/(\sqrt(x^2+y^2))" d"x+y/(\sqrt(x^2+y^2))" d"y$
che è definita in $RR^2\setminus \{ (0,0)\}$ (non connesso semplicemente) ed esatta (la primitiva è $F(x,y)=\sqrt(x^2+y^2)$); in questo caso se prendi una qualunque curva chiusa intorno a $(0,0)$ trovi integrale di linea nullo.
Il problema nel caso in esame, come ho detto, è che il metodo di calcolo della primitiva ti porta a "dividere" per una variabile (nei calcoli presentati si divide per $y$) e questa operazione porta automaticamente ad escludere l'asse $x$ dai giochi; l'escludere l'asse $x$ inoltre rompe la connessione di $RR^2\setminus \{ (0,0)\}$, poiché infatti il piano privato dell'asse è fatto di due componenti connesse (i semipiani $y>0$ e $y<0$), quindi è naturale che la primitiva $arctg(x/y)$ vada bene solo in una delle due componenti e non nell'altra.
Noto però che, con un po' di voglia, si può prolungare la primitiva conservando continuità e derivabilità su $RR^2$ meno il semiasse positivo delle $x$: questo è il massimo che si può fare se si vuole mantenere continuità e derivabilità; altrimenti andiamo a finire dentro le funzioni plurivoche che sono un argomento un po' delicato.
Mi intrufolo io che non centro niente con ste cose, ma studiando fisica ho visto ste cose sia nei campi vettoriali (se sono conservativi su un dominio semplicemente connesso le derivate parziali incrociate sono uguali, se il dominio non è semplicemente connesso dovevo anche verificare oltre l'uguaglianza di queste anche il valore dell'integrale lungo una curva chiusa che conteneva la singolarità)
ma soprattutto in TERMODINAMICA, poichè diceva il libro che le funzioni di stato delle variabili termodinamiche (entalpia, energia interna, entropia, entropia libera, energia di Gibbs) sono funzioni solo del punto di partenza e di arrivo e non del cammino (al contrario di calore e pressione ad esempio).
Diceva il libro appunto che questo accadeva perchè queste funzioni di stato sono dei Differenziali Esatti!
E diceva che SOLO in due variabili allora si può dire che se le derivate incrociate sono uguali su un semplicemente connesso allora si ha davanti un differenziale esatto, mentre invece se si sale di dimensione le cose si complicano.
Ora, visto che siamo in argomento, volevo sapere se qualcuno di voi che ne sa di sta roba saprebbe dirmi cosa succede appunto in dimensioni superiori, cioè come si generalizza il discorso...premettendo che io non sono un matematico e che appunto gli unici ambiti in cui ho visto queste cose sono quelli enunciati sopra.
ma soprattutto in TERMODINAMICA, poichè diceva il libro che le funzioni di stato delle variabili termodinamiche (entalpia, energia interna, entropia, entropia libera, energia di Gibbs) sono funzioni solo del punto di partenza e di arrivo e non del cammino (al contrario di calore e pressione ad esempio).
Diceva il libro appunto che questo accadeva perchè queste funzioni di stato sono dei Differenziali Esatti!
E diceva che SOLO in due variabili allora si può dire che se le derivate incrociate sono uguali su un semplicemente connesso allora si ha davanti un differenziale esatto, mentre invece se si sale di dimensione le cose si complicano.
Ora, visto che siamo in argomento, volevo sapere se qualcuno di voi che ne sa di sta roba saprebbe dirmi cosa succede appunto in dimensioni superiori, cioè come si generalizza il discorso...premettendo che io non sono un matematico e che appunto gli unici ambiti in cui ho visto queste cose sono quelli enunciati sopra.
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