Forma differenziale esatta

[sici_90]

Salve a tutti ,sono Gianluca;
Dopo numerose consultazioni di questo preziosissimo forum ho deciso di farne parte.
E vorrei dunque un aiuto riguardante una forma differenziale.
Bisogna stabilire se esatta o meno.
\omega =$[(x-y)/x^2]dx+[(1/x)+1/(y^2-2y)] dy$
Il dominio è $[x>0 ; y\ne 0 ; y\ne 2]$
Quindi il Dominio non è nè semplicemente connesso nè stellato.
La forma differenziale è chiusa in quanto le derivate coincidono e valgono : $-1/x^2 $
ora per verificare che la forma differenziale è esatta, è corretto calcolare l'integrale sulla circonferenza di raggio 1 e centro nell'origine?
chiaramente utilizzando la parametrizzazione di tale circonferenza:
$x=cos(t)$
$y=sen(t)$
$0 \leq t \leq 2 \pi $
Grazie a tutti.

[xnix]

affinché sia esatta devi dimostrare che la circuitazione è 0. quindi $\int_0^(2pi) \gamma(t) =0$ con $\gamma(t)=(\rho cos(t) , \rho sen(t))$ $0

[sici_90]

Grazie per la risposta;
ma,in questo caso, è corretto calcolare la circuitazione sulla circonferenza di raggio 1 e centro nell' origine?
E soprattutto , stiamo parlando di un integrale curvilineo giusto?

[xnix]

si, si parla di integrali curvilinei, ma attenzione!! sono integrali curvilinei di seconda specie! cioè associati a forme differenziali. il raggio è $\rho$

[sici_90]

ok quindi mi confermi che è un integrale curvilineo della forma differenziale.
Se invece di tenere il raggio generico \rho utilizzo il raggio unitario , è un errore? e se non ti disturba molto potresti spiegarmi il perchè?
Grazie mille!

[xnix]

si puoi prendere $\rho=1$ se è una curva di jordan! cioè chiusa, semplice e piana

[sici_90]

Ok, Perfetto.
Grazie mille!

[sbiggio]

Salve a Tutti.
Mi chiedevo :
per verificare se una forma differenziale è esatta e non mi trovo nelle condizioni di domino stellato o semplicemente connesso, è sempre corretto calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale lungo la circonferenza di raggio 1 e centro nell origine?
Grazie!