Forma differenziale ed integrale curvilineo
Ragazzi ho dei problemi nella risoluzione di questo esercizio:
''Studiare la seguente forma differenziale e calcolare l'integrale curvilineo di $omega$ esteso alla curva $alpha(t) = (t, cost)$ con $t in [0, pi/2]$ orientata nel verso delle t crescenti:
$omega = (x/(x^2+y^2) + senx) dx + (y/(x^2+y^2) + e^y) dy$
Ora, ho studiato la forma differenziale ed ottenuto la funzione:
$f(x, y) = 1/2 log(x^2+y^2) -cosx + C.$
Ora devo calcolarne l'integrale curvilineo, e mi esce una roba del genere che trovo assolutamente irrisolvibile:
$int_[0, pi/2] 1/2 [(log(t^2+cos^2t)-cost)]*(sqrt(1+sen^2t)) dt$
E' corretto lo svolgimento ? Perchè un integrale del genere mi sembra davvero troppo difficile.
''Studiare la seguente forma differenziale e calcolare l'integrale curvilineo di $omega$ esteso alla curva $alpha(t) = (t, cost)$ con $t in [0, pi/2]$ orientata nel verso delle t crescenti:
$omega = (x/(x^2+y^2) + senx) dx + (y/(x^2+y^2) + e^y) dy$
Ora, ho studiato la forma differenziale ed ottenuto la funzione:
$f(x, y) = 1/2 log(x^2+y^2) -cosx + C.$
Ora devo calcolarne l'integrale curvilineo, e mi esce una roba del genere che trovo assolutamente irrisolvibile:
$int_[0, pi/2] 1/2 [(log(t^2+cos^2t)-cost)]*(sqrt(1+sen^2t)) dt$
E' corretto lo svolgimento ? Perchè un integrale del genere mi sembra davvero troppo difficile.
Risposte
No, in quel caso la cosa sarebbe un po' più complessa, visto che in generale non avresti esattezza. Prendi per esempio la forma
$$\omega=\frac{x}{x^2+y^2}\ dx+\frac{y}{x^2+y^2}\ dy$$
da integrare lungo una qualsiasi circonferenza $x^2+y^2=r^2$.
$$\omega=\frac{x}{x^2+y^2}\ dx+\frac{y}{x^2+y^2}\ dy$$
da integrare lungo una qualsiasi circonferenza $x^2+y^2=r^2$.
Con le idee confuse che ho già,
meglio non buttarmi in questioni più complesse che difficilmente (se non mai) incontrerei ad un esame.
Ho un dubbio ciampax: tu hai detto che prima di calcolare l'integrale curvilineo devo ''controllare che l'insieme sia semplicemente connesso''. In che modo posso controllarlo ?
meglio non buttarmi in questioni più complesse che difficilmente (se non mai) incontrerei ad un esame.
Ho un dubbio ciampax: tu hai detto che prima di calcolare l'integrale curvilineo devo ''controllare che l'insieme sia semplicemente connesso''. In che modo posso controllarlo ?
Conosci la definizione?
Sì. Anche la differenza tra insieme connesso e semplicemente connesso.
Un aperto è semplicemente connesso se è connesso e se preso un arco regolare esso deve essere totalmente contenuto nell'aperto. Da quel che ho capito, in pratica, un aperto connesso contenente un ''buco'' non può essere semplicemente connesso.
Un aperto è semplicemente connesso se è connesso e se preso un arco regolare esso deve essere totalmente contenuto nell'aperto. Da quel che ho capito, in pratica, un aperto connesso contenente un ''buco'' non può essere semplicemente connesso.
Esatto. La cosa sta tutta lì: il dominio non deve avere buchi.
Ragazzi non ho capito dove ho sbagliato in questo esercizio, che ho controllato più e più volte:
''Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale:
$omega = (x/(x^2-y^2) + x - 1)dx + (cosy - y/(x^2-y^2))dy$
che si annulla in $(1, 0)$. L'integrale curvilineo si estende sull'arco di parabola $y = x^2$ con $x in [2, 3]$, orientato nel verso crescente dell'asse delle ascisse.''
Ho calcolato la primitiva e mi viene $f(x, y) = 1/2 log(x^2-y^2) + 1/2x^2 + x - 3/2$.
Già osservando così si nota come a primo membro ho un logaritmo che avrà, sia nel punto finale che nel punto iniziale, un argomento negativo. Dato che la parabola ha equazione $y = x^2$. Infatti il punto iniziale è $A (2, 4)$ e il punto finale è $B (3, 9)$.
Dove ho sbagliato ?
''Calcolare l'integrale curvilineo della forma differenziale:
$omega = (x/(x^2-y^2) + x - 1)dx + (cosy - y/(x^2-y^2))dy$
che si annulla in $(1, 0)$. L'integrale curvilineo si estende sull'arco di parabola $y = x^2$ con $x in [2, 3]$, orientato nel verso crescente dell'asse delle ascisse.''
Ho calcolato la primitiva e mi viene $f(x, y) = 1/2 log(x^2-y^2) + 1/2x^2 + x - 3/2$.
Già osservando così si nota come a primo membro ho un logaritmo che avrà, sia nel punto finale che nel punto iniziale, un argomento negativo. Dato che la parabola ha equazione $y = x^2$. Infatti il punto iniziale è $A (2, 4)$ e il punto finale è $B (3, 9)$.
Dove ho sbagliato ?
Ma perché a voi fa tanto schifo il valore assoluto? 
E comunque sei sicuro di quella primitiva? Perché a me viene fuori
$$f(x,y)=\frac{1}{2}\log|x^2-y^2|+\frac{x^2}{2}-x+\sin y+\frac{1}{2}$$
E comunque sei sicuro di quella primitiva? Perché a me viene fuori
$$f(x,y)=\frac{1}{2}\log|x^2-y^2|+\frac{x^2}{2}-x+\sin y+\frac{1}{2}$$
Si scusa mi sono dimenticato di scrivere $seny$ che risulta anche a me.
Valore assoluto, giusto! Grazie ciampax.
Una domanda: quando vado a fare poi la somma, valori come $log72$ oppure il $sen9$ li lascio così nel risultato ?
Valore assoluto, giusto! Grazie ciampax.
Una domanda: quando vado a fare poi la somma, valori come $log72$ oppure il $sen9$ li lascio così nel risultato ?
Eh sì...
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