Forma differenziale ed integrale curvilineo
Ragazzi ho dei problemi nella risoluzione di questo esercizio:
''Studiare la seguente forma differenziale e calcolare l'integrale curvilineo di $omega$ esteso alla curva $alpha(t) = (t, cost)$ con $t in [0, pi/2]$ orientata nel verso delle t crescenti:
$omega = (x/(x^2+y^2) + senx) dx + (y/(x^2+y^2) + e^y) dy$
Ora, ho studiato la forma differenziale ed ottenuto la funzione:
$f(x, y) = 1/2 log(x^2+y^2) -cosx + C.$
Ora devo calcolarne l'integrale curvilineo, e mi esce una roba del genere che trovo assolutamente irrisolvibile:
$int_[0, pi/2] 1/2 [(log(t^2+cos^2t)-cost)]*(sqrt(1+sen^2t)) dt$
E' corretto lo svolgimento ? Perchè un integrale del genere mi sembra davvero troppo difficile.
''Studiare la seguente forma differenziale e calcolare l'integrale curvilineo di $omega$ esteso alla curva $alpha(t) = (t, cost)$ con $t in [0, pi/2]$ orientata nel verso delle t crescenti:
$omega = (x/(x^2+y^2) + senx) dx + (y/(x^2+y^2) + e^y) dy$
Ora, ho studiato la forma differenziale ed ottenuto la funzione:
$f(x, y) = 1/2 log(x^2+y^2) -cosx + C.$
Ora devo calcolarne l'integrale curvilineo, e mi esce una roba del genere che trovo assolutamente irrisolvibile:
$int_[0, pi/2] 1/2 [(log(t^2+cos^2t)-cost)]*(sqrt(1+sen^2t)) dt$
E' corretto lo svolgimento ? Perchè un integrale del genere mi sembra davvero troppo difficile.
Risposte
La forma è chiusa, e su questo non ci piove, ma non è definita in $(0,0)$, quindi non è esatta su $RR^2$. Tuttavia, risulta esatta su un qualsiasi insieme semplicemente connesso che non contenga l'origine. Ad esempio il primo quadrante è un tale insieme e la curva è tutta contenuta al suo interno. Pertanto puoi calcolare una primitiva che è
$$f(x,y)=\frac{1}{2}\log(x^2+y^2)-\cos x+e^y+c$$
Per l'integrale si ha allora, essendo i punti iniziale finale della curva pari a $A(0,1),\ B(\pi/2, 0)$
$$\int_\alpha \omega=f(\pi/2,0)-f(0,1)$$
P.S.: l'integrale che hai scritto non sta né in cielo né in terra
$$f(x,y)=\frac{1}{2}\log(x^2+y^2)-\cos x+e^y+c$$
Per l'integrale si ha allora, essendo i punti iniziale finale della curva pari a $A(0,1),\ B(\pi/2, 0)$
$$\int_\alpha \omega=f(\pi/2,0)-f(0,1)$$
P.S.: l'integrale che hai scritto non sta né in cielo né in terra
Si mi sono dimenticato di scrivere il $+ e^y$ nella primitiva calcolata.
Ecco, a me manca l'ultimo passaggio. Non so come si determina l'integrale curvilineo!
Potresti spiegarmi gentilmente come hai ottenuto il punto iniziale e quello finale ?
E una volta calcolato punto iniziale e finale come determino il testo dell'integrale curvilineo ?
Ti ringrazio !!
Ecco, a me manca l'ultimo passaggio. Non so come si determina l'integrale curvilineo!
Potresti spiegarmi gentilmente come hai ottenuto il punto iniziale e quello finale ?
E una volta calcolato punto iniziale e finale come determino il testo dell'integrale curvilineo ?
Ti ringrazio !!
Se una forma $\omega$ è esatta su un dominio $D$, con primitiva $f$ su esso, e si considera una curva $\gamma\subset D$ di punti estremi $A,\ B$ (iniziale e finale) l'integrale curvilineo esteso a $\gamma$ di $\omega$ si calcola come
$$\int_\gamma \omega=f(B)-f(A)$$
E i due punti si ottengono nel modo più semplice e logico possibile: sostituendo i due valori estremi dell'intervallo dove varia $t$ all'equazione della curva e facendo i conti.
Ripeto, mi sa che ti manca un bel po' di teoria, e sinceramente mi pare che stai studiando malissimo tutta questa roba. E non dire che non li avete fatti perché gli argomenti sul calcolo delle forme si possono riassumere in due paginette che chiunque, anche un Balrog cieco, spiegherebbe.
$$\int_\gamma \omega=f(B)-f(A)$$
E i due punti si ottengono nel modo più semplice e logico possibile: sostituendo i due valori estremi dell'intervallo dove varia $t$ all'equazione della curva e facendo i conti.
Ripeto, mi sa che ti manca un bel po' di teoria, e sinceramente mi pare che stai studiando malissimo tutta questa roba. E non dire che non li avete fatti perché gli argomenti sul calcolo delle forme si possono riassumere in due paginette che chiunque, anche un Balrog cieco, spiegherebbe.
Ho provato a fare un esercizio simile, ovvero forma differenziale con integrale curvilineo. Il testo dell'esercizio è :
$omega = (arctanx + x/(sqrt(x^2+y^2)) dx + (arctany + y/(sqrt(x^2+y^2))$
Ho trovato la primitiva e dovrebbe essere $f(x, y) = sqrt(x^2+y^2) + x arctanx - 1/2 log(1+x^2) - 1/2 log(1+y^2) + y arctany$
Ora devo calcolare l'integrale curvilineo esteso alla curva di equazione $y = x^3 + 1$ di estremi $A(1,2)$ e $B(2,9)$.
Il primo passo è la parametrizzazione della curva.
La forma è chiusa ed esatta in ogni insieme semplicemente connesso che non contenga l'origine, quindi posso calcolare l'integrale nel modo che tu hai scritto sopra. Per la parametrizzazione ho posto $x = t$ e quindi $y = t^3 + 1$.
Cosa ne pensi ?
Posso sostituire nella primitiva i valori della parametrizzazione e fare la differenza tra F(A) e F(B) ?
$omega = (arctanx + x/(sqrt(x^2+y^2)) dx + (arctany + y/(sqrt(x^2+y^2))$
Ho trovato la primitiva e dovrebbe essere $f(x, y) = sqrt(x^2+y^2) + x arctanx - 1/2 log(1+x^2) - 1/2 log(1+y^2) + y arctany$
Ora devo calcolare l'integrale curvilineo esteso alla curva di equazione $y = x^3 + 1$ di estremi $A(1,2)$ e $B(2,9)$.
Il primo passo è la parametrizzazione della curva.
La forma è chiusa ed esatta in ogni insieme semplicemente connesso che non contenga l'origine, quindi posso calcolare l'integrale nel modo che tu hai scritto sopra. Per la parametrizzazione ho posto $x = t$ e quindi $y = t^3 + 1$.
Cosa ne pensi ?
Posso sostituire nella primitiva i valori della parametrizzazione e fare la differenza tra F(A) e F(B) ?
Quello che dici alla fine è corretto ma espresso malissimo.
Visto che la forma è esatta e conosci una primitiva, basta calcolare la differenza $f(B)-f(A)$ come prima. La parametrizzazione della curva è inutile.
Visto che la forma è esatta e conosci una primitiva, basta calcolare la differenza $f(B)-f(A)$ come prima. La parametrizzazione della curva è inutile.
Scusami se mi sono espresso male.
Però posso porti una domanda ? Se devo semplicemente effettuare la sottrazione $F(B) - F(A)$ (ovvero vado a sostituire e poi sottrarre), perchè il testo dell'esercizio mi da anche l'equazione della curva ?
Però posso porti una domanda ? Se devo semplicemente effettuare la sottrazione $F(B) - F(A)$ (ovvero vado a sostituire e poi sottrarre), perchè il testo dell'esercizio mi da anche l'equazione della curva ?
Perché a noi matematici piace fare i bastardi!
Ahahahah ok allora 
Ciampax posso scocciarti un altro po' ?
Devocalcolare l'integrale curvilineo lungo la curva $alpha = {(x, y) in RR^2 : -1 <= x <= 1, y >= 0, x^2 + y^2 = 1}$ nel verso delle x crescenti.
Ho una primitiva della forma differenziale, so che è esatta in tutto $RR^2$ (sinceramente devo ancora trovare un esercizio in cui la forma non sia esatta e chiusa). Ora quindi posso calcolare l'integrale curvilineo trovandomi punto iniziale e finale della curva.
Osservando un po' i dati che ho riguardo la curva, io penso che il punto d'inizio della curva sia $A (-1, 0)$ e il punto finale della curva sia $B (1, 0)$. E' giusto ? E' una semicirconferenza, giusto ?
Ciampax posso scocciarti un altro po' ?
Devocalcolare l'integrale curvilineo lungo la curva $alpha = {(x, y) in RR^2 : -1 <= x <= 1, y >= 0, x^2 + y^2 = 1}$ nel verso delle x crescenti.
Ho una primitiva della forma differenziale, so che è esatta in tutto $RR^2$ (sinceramente devo ancora trovare un esercizio in cui la forma non sia esatta e chiusa). Ora quindi posso calcolare l'integrale curvilineo trovandomi punto iniziale e finale della curva.
Osservando un po' i dati che ho riguardo la curva, io penso che il punto d'inizio della curva sia $A (-1, 0)$ e il punto finale della curva sia $B (1, 0)$. E' giusto ? E' una semicirconferenza, giusto ?
La curva è la meta superiore della circonferenza di centro l'origine e raggio $1$. Se la percorri in senso antiorario, il punto inziale è $A(1,0)$ e quello finale $B(-1,0)$. I punti che hai scritto tu manco stanno sulla curva.
Mala forma qual è per curiosità?
Mala forma qual è per curiosità?
Ciampax ho corretto il post con i punti esatti, prima avevo sbagliato a scrivere.
La forma è:
$omega = y/(x^2y^2 + 4) dx + x/(x^2y^2 + 4) dy$
Però se è nel verso delle x crescenti, non parte da $(-1, 0)$ e termina in $(1, 0)$ ?
La forma è:
$omega = y/(x^2y^2 + 4) dx + x/(x^2y^2 + 4) dy$
Però se è nel verso delle x crescenti, non parte da $(-1, 0)$ e termina in $(1, 0)$ ?
Sì, avevo letto decrescenti.
Quindi ho fatto bene l'esercizio ?
Per la primitiva mi trovo:
$f(x, y) = 1/2 arctg ((xy)/2)$
E quindi mi trovo l'integrale curvilineo pari a $0$.
Per la primitiva mi trovo:
$f(x, y) = 1/2 arctg ((xy)/2)$
E quindi mi trovo l'integrale curvilineo pari a $0$.
Va bene.
Credo anche d'aver capito come hai ottenuto punto iniziale e finale della curva del primo post.
Se la curva è $alpha(t) = (t, cost)$ con $t in [0, pi/2]$ e nel verso delle t crescenti, vuol dire che la curva ha equazione $y = cosx$ e quindi in $x = 0$ ho $(0, 1)$ mentre in $x = pi/2$ ho $y = 0$.
Perciò punto iniziale $A (0, 1)$ e punto finale $B (pi/2, 0)$.
Giusto ?
Se la curva è $alpha(t) = (t, cost)$ con $t in [0, pi/2]$ e nel verso delle t crescenti, vuol dire che la curva ha equazione $y = cosx$ e quindi in $x = 0$ ho $(0, 1)$ mentre in $x = pi/2$ ho $y = 0$.
Perciò punto iniziale $A (0, 1)$ e punto finale $B (pi/2, 0)$.
Giusto ?
Basta che sostituisci $t=0$ per il punto iniziale e $t=\pi/2$ per quello finale...
Giusto.
Ad esempio con una curva di parametri $(1/2 cost, 1/4 sente)$ con $t in [0, pi/4]$, i punti saranno $(1/2, 0)$ e $(sqrt(2)/4, sqrt(2)/8)$.
Una volta che ho verificato che è una forma chiusa, calcolato il dominio e quindi verificato dove è una forma esatta, posso sempre usare il metodo descritto in queste pagine ? Oppure ci sono alcune restrizioni da dover considerare ?
Ad esempio con una curva di parametri $(1/2 cost, 1/4 sente)$ con $t in [0, pi/4]$, i punti saranno $(1/2, 0)$ e $(sqrt(2)/4, sqrt(2)/8)$.
Una volta che ho verificato che è una forma chiusa, calcolato il dominio e quindi verificato dove è una forma esatta, posso sempre usare il metodo descritto in queste pagine ? Oppure ci sono alcune restrizioni da dover considerare ?
Verifichi che la forma e chiusa e che il dominio sia semplicemente connesso, da cui puoi dire che è esatta. Poi devi verificare che la curva sia contenuta, tutta, in un pezzo in cui la forma continua ad essere esatta.
Mentre se mi chiedessero di calcolare l'integrale curvilineo esteso su una circonferenza, potrei dire direttamente che è nullo in quanto punto iniziale e finale coincidono ?
Sì, ma sempre a patto che tutta la circonferenza stia nel dominio semplicemente connesso.
Perchè se parte della circonferenza non stesse nel dominio dovrei poi calcolare l'integrale curvilineo sulla curva che è parte sia della circonferenza sia del dominio. Giusto ?
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