Forma differenziale e integrale curvilineo
Buona sera ragazzi, vi scrivo perché sto avendo problemi in un esercizio riguardante le forme differenziali.
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità!
Data la forma differenziale:
$ w=(xy-(1-xy)log(1-xy))/(1-xy)dx + x^2/(1-xy)dy $
Calcolare $ int_(gamma )^() w $ essendo $ gamma $ la curva di equazione $ x^2+y^2-2x+2y+1=0 $
Io innanzitutto ho calcolato il dominio, che è $ xy<1, xy!=1 $
Ho poi riscritto la curva come $ (x-1)^2+(y+1)^2=1 $ che è una circonferenza di centro $ (1,-1) $ e raggio $ 1 $
La restrizione del dominio relativa al quarto quadrante, contenente interamente la curva, è semplicemente connessa. Quindi si può procedere con l'integrazione.
Ho parametrizzato la curva, ponendo: $ x=1+cost, y=-1+sint $ con $ tin [0, 2pi) $
Sostituendo ottengo:
$ int_(gamma )^() w=int_(0)^(2pi) ((1+cost)(-1+sint)-(1-(1+cost)(-1+sint))log(1-(1+cost)(-1+sint)))/(1-(1+cost)(-1+sint)) (-sint)dt + int_(0)^(2pi) (1+cost)^2/(1-(1+cost)(-1+sint)) cost dt $
A questo punto non so più andare avanti... E mi sembra strano che mi sia capitato un integrale così difficile, dato che l'esercizio era inserito nella parte semplice del compito. Sicuramente avrò sbagliato qualcosa...
Vi ringrazio ancora per la disponibilità!
Vi ringrazio in anticipo per la disponibilità!
Data la forma differenziale:
$ w=(xy-(1-xy)log(1-xy))/(1-xy)dx + x^2/(1-xy)dy $
Calcolare $ int_(gamma )^() w $ essendo $ gamma $ la curva di equazione $ x^2+y^2-2x+2y+1=0 $
Io innanzitutto ho calcolato il dominio, che è $ xy<1, xy!=1 $
Ho poi riscritto la curva come $ (x-1)^2+(y+1)^2=1 $ che è una circonferenza di centro $ (1,-1) $ e raggio $ 1 $
La restrizione del dominio relativa al quarto quadrante, contenente interamente la curva, è semplicemente connessa. Quindi si può procedere con l'integrazione.
Ho parametrizzato la curva, ponendo: $ x=1+cost, y=-1+sint $ con $ tin [0, 2pi) $
Sostituendo ottengo:
$ int_(gamma )^() w=int_(0)^(2pi) ((1+cost)(-1+sint)-(1-(1+cost)(-1+sint))log(1-(1+cost)(-1+sint)))/(1-(1+cost)(-1+sint)) (-sint)dt + int_(0)^(2pi) (1+cost)^2/(1-(1+cost)(-1+sint)) cost dt $
A questo punto non so più andare avanti... E mi sembra strano che mi sia capitato un integrale così difficile, dato che l'esercizio era inserito nella parte semplice del compito. Sicuramente avrò sbagliato qualcosa...
Vi ringrazio ancora per la disponibilità!
Risposte
Ciao! Nota che la forma differenziale è chiusa su un insieme semplicemente connesso e la curva $\gamma$ è chiusa.
Quindi dato che la forma differenziale è chiusa (mi sono dimenticato a verificarlo) e il dominio è semplicemente connesso posso dire che la forma differenziale è esatta e quindi posso svolgere l'integrale, giusto? Anche se non saprei come svolgere quell'integrale. Forse c'è un metodo più semplice? Il fatto che la curva sia chiusa ha delle conseguenze?
Se la forma differenziale è chiusa su un insieme semplicemente connesso è esatta in quell'insieme semplicemente connesso; un teorema importante sulle forme differenziali afferma che l'integrale di una forma differenziale esatta lungo una curva chiusa è nullo.
Mi era sfuggito questo teorema riguardante le curve chiuse! Grazie mille!
Prego! Sempre verificare la chiusura di una forma differenziale, proprio perché c'è questa possibilità.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo