Forma differenziale... dove sbaglio?
Data la forma differenziale:
$w(x;y)= -(y-2)/[(x^2)+(y^2)-4y+4]"d"x + x/[(x^2)+(y^2)-4y+4]"d"y$
devo calcolare l'integrale di w lungo la circonferenza di raggio 10 centrata nell'origine e percorsa 2 volte in senso antiorario
allora io ho fatto il cambio di variabile
$\{ (x = r cos theta),( y = r sin theta):} \quad \quad "con "theta \in [0, 4pi]$
$\{ (x' = - r sin theta),(y' = r cos theta):}
$\{ r = 10:}
sostituendo:
$int_0^(4pi) {[-(rsin theta-2)/[r^2cos^2theta+r^2sin^2theta-4r sin theta+4] - rsin theta] + [ rcostheta/[r^2cos^2 theta+r^2sin^2theta-4r sin theta+4]r cos theta]} " d"theta $
$int_0^(4pi) {[-(rsin theta-2)/[r^2-4r sin theta+4] - rsin theta] + [ rcostheta/[r^2-4r sin theta+4]r cos theta]} " d"theta $
$int_0^(4pi) {(r^2sin^2 theta-2rsin theta)/[r^2-4r sin theta+4] + [ r^2cos^2theta]/[r^2-4r sin theta+4]} " d"theta $
$int_0^(4pi) {(r^2sin^2 theta-2rsin theta+r^2cos^2theta)/[r^2-4r sin theta+4] } " d"theta $
$int_0^(4pi) {(r^2-2rsin theta)/[r^2-4r sin theta+4] } " d"theta $
ed ora mi sono bloccata, qualcuno può aiutarmi?
Ps grazie gugo82
$w(x;y)= -(y-2)/[(x^2)+(y^2)-4y+4]"d"x + x/[(x^2)+(y^2)-4y+4]"d"y$
devo calcolare l'integrale di w lungo la circonferenza di raggio 10 centrata nell'origine e percorsa 2 volte in senso antiorario
allora io ho fatto il cambio di variabile
$\{ (x = r cos theta),( y = r sin theta):} \quad \quad "con "theta \in [0, 4pi]$
$\{ (x' = - r sin theta),(y' = r cos theta):}
$\{ r = 10:}
sostituendo:
$int_0^(4pi) {[-(rsin theta-2)/[r^2cos^2theta+r^2sin^2theta-4r sin theta+4] - rsin theta] + [ rcostheta/[r^2cos^2 theta+r^2sin^2theta-4r sin theta+4]r cos theta]} " d"theta $
$int_0^(4pi) {[-(rsin theta-2)/[r^2-4r sin theta+4] - rsin theta] + [ rcostheta/[r^2-4r sin theta+4]r cos theta]} " d"theta $
$int_0^(4pi) {(r^2sin^2 theta-2rsin theta)/[r^2-4r sin theta+4] + [ r^2cos^2theta]/[r^2-4r sin theta+4]} " d"theta $
$int_0^(4pi) {(r^2sin^2 theta-2rsin theta+r^2cos^2theta)/[r^2-4r sin theta+4] } " d"theta $
$int_0^(4pi) {(r^2-2rsin theta)/[r^2-4r sin theta+4] } " d"theta $
ed ora mi sono bloccata, qualcuno può aiutarmi?
Ps grazie gugo82
Risposte
"nikoletta":
Ps scusate per come l'ho scritta ma il pc nn è per me
In fondo inserire i simboli in maniera corretta non è difficile: basta seguire le istruzioni che trovi cliccando sul link formule.
Per il momento le prime due formule le ho inserite io; spero che tu abbia voglia di modificare le rimanenti come indicato nella guida (o seguendo il mio esempio).
Per il resto, lascio rispondere ad altri che ora sono impegnato.
l'ultimo integrale con i complessi? boh....
noto solo che la forma differenziale è chiusa... quindi guardando il dominio di definizione puoi modificare il percorso a patto di rimanere nella zona in cui sta definita... magari torna utile...
noto solo che la forma differenziale è chiusa... quindi guardando il dominio di definizione puoi modificare il percorso a patto di rimanere nella zona in cui sta definita... magari torna utile...
Thomas dimmi una cosa oltre i conti i miei ragionamenti sono esatti? cioè se la curva è percorsa 2 volte in senso antiorario vuol dire che devo integrare tra 0 e 4pi? opp
$\{ (x = r cos 2theta),( y = r sin 2theta):} \quad \quad "con "theta \in [0, 2pi]$
$\{ (x' = - r sin 2theta),(y' = r cos 2theta):}
$\{ r = 10:}
mmm provo a fare i conti così... vediamo dove va....
ho lasciato qualcosa... se sai mi puoi controllare il primo passagio del mio integrale? secondo me è li che sbaglio
$\{ (x = r cos 2theta),( y = r sin 2theta):} \quad \quad "con "theta \in [0, 2pi]$
$\{ (x' = - r sin 2theta),(y' = r cos 2theta):}
$\{ r = 10:}
mmm provo a fare i conti così... vediamo dove va....
ho lasciato qualcosa... se sai mi puoi controllare il primo passagio del mio integrale? secondo me è li che sbaglio
"Thomas":
l'ultimo integrale con i complessi? boh....
noto solo che la forma differenziale è chiusa... quindi guardando il dominio di definizione puoi modificare il percorso a patto di rimanere nella zona in cui sta definita... magari torna utile...
a me sembra giusto...
cmq ti suggerisco:
y'=y-2
x'=x
poi riscrivi la forma differenziale con queste variabili: ti uscirà evidente quale è il 'potenziale'... e poi è un attimo....
cmq ti suggerisco:
y'=y-2
x'=x
poi riscrivi la forma differenziale con queste variabili: ti uscirà evidente quale è il 'potenziale'... e poi è un attimo....
per farti capire che forma differenziale viene fuori:
users.uniud.it/cabib/dispense/formediff.pdf
users.uniud.it/cabib/dispense/formediff.pdf
Invece di partire con i contazzi, proverei a ragionare un po' prima.
Innanzitutto noterei che l'integrale cercato è uguale, per la proprietà additiva dell'integrale, a due volte l'integrale sulla circonferenza $Gamma$ di centro $o$ e raggio $10$.
Poi noterei che l'integrale sulla circonferenza $Gamma$ è uguale alla somma dei due integrali fatti uno sulla semicirconferenza $Gamma_1$ nel semipiano $x>0$ e l'altro sulla semicirconferenza $Gamma_2$ nel semipiano $x<0$, di modo che:
$\int_Gamma w(x,y;"d"x,"d"y) =\int_(Gamma_1) w(x,y;"d"x,"d"y)+\int_(Gamma_2) w(x,y;"d"x,"d"y)$
Infine, noterei che è facilissimo calcolare due primitive della $w(x,y;"d"x,"d"y)$ nei due semipiani $x>0$ ed $x<0$ (la primitiva esiste perchè i semipiani sono aperti semplicemente connessi e $w(x,y;"d"x,"d"y)$ è chiusa in ognuno) e perciò gli integrali $\int_(Gamma_1) w(x,y;"d"x,"d"y),\ \int_(Gamma_2) w(x,y;"d"x,"d"y)$ possono essere risolti con la formula fondamentale del calcolo integrale.
Il tutto senza scomodare nozioni che uno studente di Analisi II non conosce.
Innanzitutto noterei che l'integrale cercato è uguale, per la proprietà additiva dell'integrale, a due volte l'integrale sulla circonferenza $Gamma$ di centro $o$ e raggio $10$.
Poi noterei che l'integrale sulla circonferenza $Gamma$ è uguale alla somma dei due integrali fatti uno sulla semicirconferenza $Gamma_1$ nel semipiano $x>0$ e l'altro sulla semicirconferenza $Gamma_2$ nel semipiano $x<0$, di modo che:
$\int_Gamma w(x,y;"d"x,"d"y) =\int_(Gamma_1) w(x,y;"d"x,"d"y)+\int_(Gamma_2) w(x,y;"d"x,"d"y)$
Infine, noterei che è facilissimo calcolare due primitive della $w(x,y;"d"x,"d"y)$ nei due semipiani $x>0$ ed $x<0$ (la primitiva esiste perchè i semipiani sono aperti semplicemente connessi e $w(x,y;"d"x,"d"y)$ è chiusa in ognuno) e perciò gli integrali $\int_(Gamma_1) w(x,y;"d"x,"d"y),\ \int_(Gamma_2) w(x,y;"d"x,"d"y)$ possono essere risolti con la formula fondamentale del calcolo integrale.
Il tutto senza scomodare nozioni che uno studente di Analisi II non conosce.
se per primitiva intendi $arctg((y-2)/x)$ mi sa che chi non conosce la forma differenziale $d\theta$ non la trova mica...
Non mi pare impossibile determinare una primitiva $U$ di $w(x,y;"d"x,"d"y)$.
Invero scrivere l'equazione $(\partial)/(\partial y) U(x,y)=x/(x^2+(y-2)^2)$, da cui si trae:
$U(x,y)=\{\int x/(x^2+(y-2)^2)" d"y \}+gamma(x)$
e trovare $gamma(x)$ imponendo che sia soddisfatta la condizione $(\partial)/(\partial x) U(x,y)=-(y-2)/(x^2+(y-2)^2)$ (quindi risolvendo una EDO del primo ordine in $gamma(x)$).
Questa è una tecnica standard per la determinazione delle primitive; credo che la insegnino ancora in Analisi II...
Invero scrivere l'equazione $(\partial)/(\partial y) U(x,y)=x/(x^2+(y-2)^2)$, da cui si trae:
$U(x,y)=\{\int x/(x^2+(y-2)^2)" d"y \}+gamma(x)$
e trovare $gamma(x)$ imponendo che sia soddisfatta la condizione $(\partial)/(\partial x) U(x,y)=-(y-2)/(x^2+(y-2)^2)$ (quindi risolvendo una EDO del primo ordine in $gamma(x)$).
Questa è una tecnica standard per la determinazione delle primitive; credo che la insegnino ancora in Analisi II...
ja.... probabilmente i calcoli sono uguali a scegliere un rettangolo come cammino all'inizio sfruttando la chiusura....
beh a nikoletta trarre le somme
beh a nikoletta trarre le somme
Gugo82 io ci provo e riprovo ma arrivo a quell inegrale, ti dirò ho la soluzione che è 4pi ma io nn riesco proprio ad arrivarci... mi aiuti'!?! io ci sto a provare in tutti i modi ma mi blocco
"Gugo82":
Non mi pare impossibile determinare una primitiva $U$ di $w(x,y;"d"x,"d"y)$.
Invero scrivere l'equazione $(\partial)/(\partial y) U(x,y)=x/(x^2+(y-2)^2)$, da cui si trae:
$U(x,y)=\{\int x/(x^2+(y-2)^2)" d"y \}+gamma(x)$
e trovare $gamma(x)$ imponendo che sia soddisfatta la condizione $(\partial)/(\partial x) U(x,y)=-(y-2)/(x^2+(y-2)^2)$ (quindi risolvendo una EDO del primo ordine in $gamma(x)$).
Questa è una tecnica standard per la determinazione delle primitive; credo che la insegnino ancora in Analisi II...
L'integrale è un integrale da Analisi I.
Tieni presente che stai integrando solo rispetto ad $y$, quindi devi trattare $x$ come se fosse una costante.
Per esempio, se ti chiedessi di calcolare:
$\int 2/(4+(y-2)^2)" d"y$
come faresti?
Ricorda le tecniche di Analisi I.
Tieni presente che stai integrando solo rispetto ad $y$, quindi devi trattare $x$ come se fosse una costante.
Per esempio, se ti chiedessi di calcolare:
$\int 2/(4+(y-2)^2)" d"y$
come faresti?
Ricorda le tecniche di Analisi I.
Devo fare in modo che il numeratore divenga la derivata del denominatore? se nn è così nn so...
Gugo nn so...
e per fortuna che è un quesito di pre test, ciò vuol dire che sarei dovuta arrivare alla soluzione in 5 min, ma dimmi una cosa... se la curva viene percorsa due volte in senso antiorario che limiti di integrazione dovrei usate? ho fatto bene io all inizio?cioè devo integrare per
$\{ (x = r cos theta),( y = r sin theta):} \quad \quad "con "theta \in [0, 4pi]$
$\{ (x' = - r sin theta),(y' = r cos theta):}
oppure per
$\{ (x = r cos 2theta),( y = r sin 2theta):} \quad \quad "con "theta \in [0, 2pi]$
$\{ (x' = - 2r sin 2theta),(y' = 2r cos 2theta):}
Mi togli questo dubbio'?'
Gugo nn so...
e per fortuna che è un quesito di pre test, ciò vuol dire che sarei dovuta arrivare alla soluzione in 5 min, ma dimmi una cosa... se la curva viene percorsa due volte in senso antiorario che limiti di integrazione dovrei usate? ho fatto bene io all inizio?cioè devo integrare per
$\{ (x = r cos theta),( y = r sin theta):} \quad \quad "con "theta \in [0, 4pi]$
$\{ (x' = - r sin theta),(y' = r cos theta):}
oppure per
$\{ (x = r cos 2theta),( y = r sin 2theta):} \quad \quad "con "theta \in [0, 2pi]$
$\{ (x' = - 2r sin 2theta),(y' = 2r cos 2theta):}
Mi togli questo dubbio'?'
"nikoletta":
e per fortuna che è un quesito di pre test, ciò vuol dire che sarei dovuta arrivare alla soluzione in 5 min,'
evidentemente va fatto riconoscendo la forma differenziale $d\theta$...
anche se ovviamente farlo a mano ha la sua utilità didattica
Thomas ma quindi tu mi sai dire come si fa? il risultato è 4pi
Dov è che sbaglio?
magari proprio all inizio
Dov è che sbaglio?
magari proprio all inizio
"Thomas":
anche se ovviamente farlo a mano ha la sua utilità didattica
"Gugo82":
L'integrale è un integrale da Analisi I.
Tieni presente che stai integrando solo rispetto ad $y$, quindi devi trattare $x$ come se fosse una costante.
Per esempio, se ti chiedessi di calcolare:
$\int 2/(4+(y-2)^2)" d"y$
come faresti?
Ricorda le tecniche di Analisi I.
beh Nikoletta rispondi a Gugo....... sarò cattivo io ma questo integrale dovresti saperlo fare altrimenti altro che forme differenziali
... la tecnica dei 5 minuti c'è ma a questo punto mi sembra inutile esporla per filo e per segno....
"nikoletta":
Dov è che sbaglio?
magari proprio all inizio
Sbagli innanzitutto a voler fare le cose meccanicamente.
Voglio dire, hai constatato da te che l'integrale in polari è difficile... Quindi perchè ti ostini a provare con quel metodo?
Cerca una strada alternativa al bruto contare!
Una strada te l'ho suggerita: applicare le proprietà dell'integrale curvilineo e ricordare un trucco di Analisi I.
Ti ho dato l'input; ora fai la prossima mossa: calcola l'integrale.
Non ricordi come si fa? Ok.
Vatti a recuperare gli appunti di Analisi I (o guarda su internet, o cerca nel sito, o fai ciò che vuoi...) e cerca di ricordare.
Voglio vedere impegno, perchè lo studio, come avrai capito in questi anni di università, è fatica.
Se vuoi capire qualcosa che non ti entra devi lottarci, farci a ****tti, finché non l'hai addomesticata ed essa non ti ha schiuso i suoi segreti; questo è studiare.
Se vuoi seguire la strada suggerita da Thomas, lascio la parola a lui.
Altrimenti, se vuoi seguire il mio suggerimento, interverrò di nuovo quando avrai scritto come si calcola $\int 2/(4+(y-2)^2)" d"y$.
Fammi sapere cosa scegli di fare, però.
P.S.: Sia bene inteso: non sono arrabbiato con te, né mi da fastidio che io e Thomas abbiamo suggerito cose diverse.
Con quello che ho scritto volevo spronarti; non devi abbatterti davanti a queste difficoltà!
Con la tua intelligenza e con un po' di aiuto questi problemini si risolvono; però, come ho già detto, l'importante è che tu tiri fuori tutta la tua grinta e ti ci metti d'impegno. Forza!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo