Forma differenziale con integrale curvilineo
Salve a tutti,
ho un problema con questa forma differenziale:
$\omega$ $= [2(x-2)/((x-2)^2+y^2)-1/(x-y^2)]dx +2y[1/((x-2)^2+y^2) + 1/(x+y^2)]dy $
Ora, svolgendo le derivate parziali trovo che la forma chiusa, ma il dominio non è semplicemente connesso.
Quindi passo al calcolo dell'integrale curvilineo. Il testo dell'esercizio dice :
"calcolare l’integrale curvilineo esteso all’arco di circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ contenuto nel secondo quadrante e orientato in senso orario"
Io ho pensato di poter utilizzare le formule di Gauss Green dato che noto che il numeratore è la derivata, rispetto a $ x $, del denominatore, per quanto riguarda la parte col $dx$, e rispetto a $ y $ per la parte col $dy$.
Ora qui mi sono bloccata. Non riesco a capire come utilizzare tali formule negli integrali curvilinei.
Spero che qualcuno possa aiutarmi. Grazie a tutti.
ho un problema con questa forma differenziale:
$\omega$ $= [2(x-2)/((x-2)^2+y^2)-1/(x-y^2)]dx +2y[1/((x-2)^2+y^2) + 1/(x+y^2)]dy $
Ora, svolgendo le derivate parziali trovo che la forma chiusa, ma il dominio non è semplicemente connesso.
Quindi passo al calcolo dell'integrale curvilineo. Il testo dell'esercizio dice :
"calcolare l’integrale curvilineo esteso all’arco di circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ contenuto nel secondo quadrante e orientato in senso orario"
Io ho pensato di poter utilizzare le formule di Gauss Green dato che noto che il numeratore è la derivata, rispetto a $ x $, del denominatore, per quanto riguarda la parte col $dx$, e rispetto a $ y $ per la parte col $dy$.
Ora qui mi sono bloccata. Non riesco a capire come utilizzare tali formule negli integrali curvilinei.
Spero che qualcuno possa aiutarmi. Grazie a tutti.
Risposte
Io osserverei prima di tutto che $\omega=\omega_1+\omega_2$ dove
$$\omega_1=\frac{2(x-2)}{(x-2)^2+y^2}\ dx+\frac{2y}{(x-2)^2+y^2}\ dy,\qquad \omega_2=-\frac{2}{x-y^2}\ dx+\frac{2y}{x+y^2}\ dy$$
dove $\omega_1$ è chiusa, mentre, percome hai scritto, $\omega_2$ non lo è (q quindi non può esserlo neanche $\omega$, non ti pare? Oppure i denominatori dei due termini sono uguali?)
Ora, osserva che $\omega_1$ è definita per $RR^2\setminus\{(2,0)\}$, pertanto se prendi un qualsiasi dominio semplicemente connesso (ad esempio, il secondo quadrante) che non contiene quel punto, la forma risulta pure esatta. Per cui abbiamo, essendo $f(x,y)=\log[(x-2)^2+y^2]$ una primitiva della forma e dovendo integrare dal punto $A(-1,0)$ al punto $B(0,1)$
$$\int_\gamma \omega_1=f(0,1)-f(-1,0)=\log 5-\log 9=\log\frac{5}{9}$$
Ora controlla un po' come deve essere fatto $\omega_2$ e poi ne riparliamo.
$$\omega_1=\frac{2(x-2)}{(x-2)^2+y^2}\ dx+\frac{2y}{(x-2)^2+y^2}\ dy,\qquad \omega_2=-\frac{2}{x-y^2}\ dx+\frac{2y}{x+y^2}\ dy$$
dove $\omega_1$ è chiusa, mentre, percome hai scritto, $\omega_2$ non lo è (q quindi non può esserlo neanche $\omega$, non ti pare? Oppure i denominatori dei due termini sono uguali?)
Ora, osserva che $\omega_1$ è definita per $RR^2\setminus\{(2,0)\}$, pertanto se prendi un qualsiasi dominio semplicemente connesso (ad esempio, il secondo quadrante) che non contiene quel punto, la forma risulta pure esatta. Per cui abbiamo, essendo $f(x,y)=\log[(x-2)^2+y^2]$ una primitiva della forma e dovendo integrare dal punto $A(-1,0)$ al punto $B(0,1)$
$$\int_\gamma \omega_1=f(0,1)-f(-1,0)=\log 5-\log 9=\log\frac{5}{9}$$
Ora controlla un po' come deve essere fatto $\omega_2$ e poi ne riparliamo.
in effetti $\omega2$ ha gli stessi denominatori, ho sbagliato a scrivere ( sono entrambi $x-y^2$ ).
Non è chiara una cosa, perché integri da A a B? Mi potresti scrivere i passaggi che hai fatto? Perché io, probabilmente sbagliando, avrei parametrizzato la curva facendo
$ x=cos t $uu$ y=sen t $ con $t $in$ {$\pi$;$\pi$/2} $
ma in effetti sarebbe venuto un integrale immenso.
Grazie mille comunque!
$ x=cos t $uu$ y=sen t $ con $t $in$ {$\pi$;$\pi$/2} $
ma in effetti sarebbe venuto un integrale immenso.
Grazie mille comunque!
Ok, perfetto, allora procediamo. Abbiamo
$$\omega_2=-\frac{1}{x-y^2}\ dx+\frac{2y}{x-y^2}$$
Questa forma non è definita su $x=y^2$ che è una parabola tutta contenuta nel I e IV quadrante. Pertanto, come prima, la forma risulta esatta sul secondo quadrante e si ha, essendo $g(x,y)=-\log|x-y^2|$ una primitiva
$$\int_\gamma \omega_2=g(0,1)-g(-1,0)=0$$
Pertanto
$$\int_\gamma\omega=\log\frac{5}{9}$$
EDIT: ti viene chiesto di integrare sulla circonferenza, nel secondo quadrante, in senso orario. La curva interseca gli assi nei punti $A$ e $B$ e il verso di percorrenza orario implica che devi procedere in questo ordine. Dal momento che le forme risultano esatte, non ha senso parametrizzare, ma basta applicare il "Teorema di Torricelli", cioè quello per il quale se $A$ e $B$ sono i punti iniziale e finale della curva, $f$ è la primitiva della forma, allora
$$\int_\gamma\omega=f(B)-f(A)$$
$$\omega_2=-\frac{1}{x-y^2}\ dx+\frac{2y}{x-y^2}$$
Questa forma non è definita su $x=y^2$ che è una parabola tutta contenuta nel I e IV quadrante. Pertanto, come prima, la forma risulta esatta sul secondo quadrante e si ha, essendo $g(x,y)=-\log|x-y^2|$ una primitiva
$$\int_\gamma \omega_2=g(0,1)-g(-1,0)=0$$
Pertanto
$$\int_\gamma\omega=\log\frac{5}{9}$$
EDIT: ti viene chiesto di integrare sulla circonferenza, nel secondo quadrante, in senso orario. La curva interseca gli assi nei punti $A$ e $B$ e il verso di percorrenza orario implica che devi procedere in questo ordine. Dal momento che le forme risultano esatte, non ha senso parametrizzare, ma basta applicare il "Teorema di Torricelli", cioè quello per il quale se $A$ e $B$ sono i punti iniziale e finale della curva, $f$ è la primitiva della forma, allora
$$\int_\gamma\omega=f(B)-f(A)$$
Sei stato chiarissimo grazie mille! Ora è tutto più chiaro. 
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