Forma differenziale chiusa ed esatta.
Salve ragazzi,mi serviva una piccola delucidazione:
Una forma differenziale si dice chiusa quando le sue derivate incrociate sono uguali?
E si dice esatta quando oltre ad essere chiusa ,il dominio è semplicemente connesso?
Grazie in anticipo:).
Una forma differenziale si dice chiusa quando le sue derivate incrociate sono uguali?
E si dice esatta quando oltre ad essere chiusa ,il dominio è semplicemente connesso?
Grazie in anticipo:).
Risposte
"FrancescoZio":
Una forma differenziale si dice chiusa quando le sue derivate incrociate sono uguali?
Sì (insomma, ci siamo capiti).
E si dice esatta quando oltre ad essere chiusa ,il dominio è semplicemente connesso?
No. Si dice esatta se ammette un potenziale. Quella da te citata è una condizione sufficiente affinché sia esatta.
"Rigel":
[quote="FrancescoZio"]
Una forma differenziale si dice chiusa quando le sue derivate incrociate sono uguali?
Sì (insomma, ci siamo capiti).
E si dice esatta quando oltre ad essere chiusa ,il dominio è semplicemente connesso?
No. Si dice esatta se ammette un potenziale. Quella da te citata è una condizione sufficiente affinché sia esatta.[/quote]
Scusa la mia ignoranza,ma il potenziale sarebbe la primitiva?
Perchè nell'esercizio che devo svolgere,mi chiede di verificare se una funzione omega(x,y) è chiusa( e com abbiamo detto calcolo le derivate incociate e ne verifico l'uguaglianza),poi di calcolare la sua primitiva e poi mi chiede di verificare se è esatta,quindi se la primitiva mi da' differente da 0 e la forma differenziale è chiusa è esatta?
Mi è venuta in mente un'altra cosa,non che il potenziale sarebbe l'integrale curvilineo all'interno del mio dominio semplicemente connesso?
Diciamo che la mia forma differenziale sia semplicemente connessa per $ 3*x-y >0$ ,inoltre è chiusa.
Io prendo una circonferenza ,di centro e raggio appartenenti al mio dominio semplicemente connessi,la parametrizzo e ne calcolo l'integrale curvilineo,se è =0 allora è esatta?
Piccoli dubbi:
1) l'integrale curvilineo devo farlo sia per la mia funzione in dx che per quella in dy?
2)il dominio dev'essere semplicemente connesso vero?
Grazie ancora.
Diciamo che la mia forma differenziale sia semplicemente connessa per $ 3*x-y >0$ ,inoltre è chiusa.
Io prendo una circonferenza ,di centro e raggio appartenenti al mio dominio semplicemente connessi,la parametrizzo e ne calcolo l'integrale curvilineo,se è =0 allora è esatta?
Piccoli dubbi:
1) l'integrale curvilineo devo farlo sia per la mia funzione in dx che per quella in dy?
2)il dominio dev'essere semplicemente connesso vero?
Grazie ancora.
Mi sa che dare un'occhiata al libro di testo non sarebbe male 
Comunque, la forma differenziale $\omega = f dx + g dy$ (con $f,g:\Omega\to\mathbb{R}$ continue, $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ aperto) si dice esatta se esiste una funzione $V:\Omega\to\mathbb{R}$ di classe $C^1$ (detta potenziale) tale che $V_x = f$, $V_y=g$ in $\Omega$.
Come vedi non c'è nessuna necessità che $\Omega$ sia semplicemente connesso.
Si dimostra poi la seguente caratterizzazione: $\omega$ è esatta se e solo se $\int_{\gamma} \omega = 0$ per ogni curva chiusa $\gamma$ con supporto in $\Omega$.
Vale poi la condizione sufficiente: se $\omega$ è chiusa, cioè se $f,g\in C^1(\Omega)$ e $f_y = g_x$ in $\Omega$, e $\Omega$ è semplicemente connesso, allora $\omega$ è esatta.
Naturalmente tutte queste cose le trovi su qualsiasi libro (magari scritte anche un po' meglio).
Comunque, la forma differenziale $\omega = f dx + g dy$ (con $f,g:\Omega\to\mathbb{R}$ continue, $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ aperto) si dice esatta se esiste una funzione $V:\Omega\to\mathbb{R}$ di classe $C^1$ (detta potenziale) tale che $V_x = f$, $V_y=g$ in $\Omega$.
Come vedi non c'è nessuna necessità che $\Omega$ sia semplicemente connesso.
Si dimostra poi la seguente caratterizzazione: $\omega$ è esatta se e solo se $\int_{\gamma} \omega = 0$ per ogni curva chiusa $\gamma$ con supporto in $\Omega$.
Vale poi la condizione sufficiente: se $\omega$ è chiusa, cioè se $f,g\in C^1(\Omega)$ e $f_y = g_x$ in $\Omega$, e $\Omega$ è semplicemente connesso, allora $\omega$ è esatta.
Naturalmente tutte queste cose le trovi su qualsiasi libro (magari scritte anche un po' meglio).
"Rigel":
Mi sa che dare un'occhiata al libro di testo non sarebbe male
Comunque, la forma differenziale $\omega = f dx + g dy$ (con $f,g:\Omega\to\mathbb{R}$ continue, $\Omega\subset\mathbb{R}^2$ aperto) si dice esatta se esiste una funzione $V:\Omega\to\mathbb{R}$ di classe $C^1$ (detta potenziale) tale che $V_x = f$, $V_y=g$ in $\Omega$.
Come vedi non c'è nessuna necessità che $\Omega$ sia semplicemente connesso.
Si dimostra poi la seguente caratterizzazione: $\omega$ è esatta se e solo se $\int_{\gamma} \omega = 0$ per ogni curva chiusa $\gamma$ con supporto in $\Omega$.
Vale poi la condizione sufficiente: se $\omega$ è chiusa, cioè se $f,g\in C^1(\Omega)$ e $f_y = g_x$ in $\Omega$, e $\Omega$ è semplicemente connesso, allora $\omega$ è esatta.
Naturalmente tutte queste cose le trovi su qualsiasi libro (magari scritte anche un po' meglio).
Purtroppo non ho libri di testo,quindi potrei prendere una circonferenza come curva gamma per calcolare l'integrale su gamma?Con centro e raggio arbitrario?
Il fatto è questo:
Il mio esercizio mi chiede:
1)Se omega è chiusa,l'ho fatto e lo è.
2)Di calcolare la primitiva,fatto.
3)di vedere se è esatta in D(in questo caso dovrei fare l'integrale curvilineo,da quanto mi ha detto tu).
Poi però mi chiede di calcolare l'integrale curvilineo dandomi un centro ed un raggio,appartenenti al mio dominio $ D $,ma quindi fra il punto di prima(quindi l'essere esatta) e l'ultimo quesito che differenza c'è?Praticamente mi andrei a calcolare 2 integrali simili ,visto che sono nello stesso dominio di appartenenza..
Il mio esercizio mi chiede:
1)Se omega è chiusa,l'ho fatto e lo è.
2)Di calcolare la primitiva,fatto.
3)di vedere se è esatta in D(in questo caso dovrei fare l'integrale curvilineo,da quanto mi ha detto tu).
Poi però mi chiede di calcolare l'integrale curvilineo dandomi un centro ed un raggio,appartenenti al mio dominio $ D $,ma quindi fra il punto di prima(quindi l'essere esatta) e l'ultimo quesito che differenza c'è?Praticamente mi andrei a calcolare 2 integrali simili ,visto che sono nello stesso dominio di appartenenza..
A meno che il tuo professore utilizzi una nomenclatura non standard, se una forma differenziale ammette primitiva allora per definizione è esatta.
Se è esatta, l'integrale curvilineo lungo qualsiasi curva chiusa con sostegno nel dominio è nullo.
Se poi scrivi di che forma differenziale stiamo parlando, forse si possono chiarire alcuni punti.
Se è esatta, l'integrale curvilineo lungo qualsiasi curva chiusa con sostegno nel dominio è nullo.
Se poi scrivi di che forma differenziale stiamo parlando, forse si possono chiarire alcuni punti.
"Rigel":
A meno che il tuo professore utilizzi una nomenclatura non standard, se una forma differenziale ammette primitiva allora per definizione è esatta.
Se è esatta, l'integrale curvilineo lungo qualsiasi curva chiusa con sostegno nel dominio è nullo.
Se poi scrivi di che forma differenziale stiamo parlando, forse si possono chiarire alcuni punti.
Ok,ora inizio ad avere tutto più chiaro..
ti scrivo la forma differenziale:
$ (3/(2 \sqrt{3*x-y}))dx - (1/(2\sqrt{3*x-y}))dy $
quindi io ho fatto:
1)Dominio: tutto R per $ 3*x - y>0 $
2)Calcolare se è chiusa: a me vengono le derivate incrociate uguali e pari a : $ 3/(4*(3*x-y)^(3/2)) $
3)Calcolo della primitiva,io effettuo i seguenti passaggi:
a)prendo ad esempio la funzione di omega in $ dx $ ,la integro in dx e la chiamerò F1(per comodità).
b)al risultato sommo $ k(y) $ (poichè ho integrato la funzione in $ dx $ ,altrimenti avrei scritto $ k(x) $ )
c)faccio la derivata in $ dy $ di $ F1+ k(y) $
d)pongo il risultato = alla funzione di omega in dy e mi calcolo $ k'(y) $.
e)faccio l'integrale di k'(y) in dy per ottenere k(y)
f)a questo punto sommo ad F1 ,k(y) ed ho la primitiva,in questo caso mi dà : $ -3*sqrt(3*x -y ) $.
spero sia giusta.
4)Mi chiede se omega è esatta in $ D $,in questo caso,visto che ho una primitiva e omega è chiusa dovrei rispondere con un si vero?
5)calcolare l'integrale curvilineo dove gamma è la circonferenza di $ r= 1$ e $ C(10,2) $ percorsa in senso antiorario.
Fine esercizio.
Ti ringrazio veramente tanto,se puoi,potresti spiegarmi le cose non capite o non corrette nel modo più elementare possibile?Anche perchè ti sto' stressando da un po' e non vorrei farti perdere altro tempo.
A prescindere da ciò,ti ringrazio tanto ed in anticipo
Ehm, non è che si capisca molto.
Per vedere come scrivere le formule guarda qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
(Puoi usare il tasto "Modifica" per correggere il tuo post precedente.)
Per vedere come scrivere le formule guarda qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
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"Rigel":
Ehm, non è che si capisca molto.
Per vedere come scrivere le formule guarda qui:
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(Puoi usare il tasto "Modifica" per correggere il tuo post precedente.)
Grazie:),ora dovrebbe essere più leggibile.
Allora:
1) il dominio è $D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 3x-y > 0\}$;
2) ok;
3) non mi torna il $-3$; la primitiva mi sembra essere $V(x,y) = \sqrt{3x-y}$;
4) la forma differenziale ammette potenziale, quindi è esatta. In questo caso si poteva concludere che la forma è esatta anche da 2) e dal fatto che $D$ è semplicemente connesso (ma, come ti ho detto, questa è solo una condizione sufficiente, non è una caratterizzazione);
5) una volta controllato che il sostegno della curva sia tutto contenuto in $D$, tale integrale è nullo poiché la forma è esatta.
1) il dominio è $D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 3x-y > 0\}$;
2) ok;
3) non mi torna il $-3$; la primitiva mi sembra essere $V(x,y) = \sqrt{3x-y}$;
4) la forma differenziale ammette potenziale, quindi è esatta. In questo caso si poteva concludere che la forma è esatta anche da 2) e dal fatto che $D$ è semplicemente connesso (ma, come ti ho detto, questa è solo una condizione sufficiente, non è una caratterizzazione);
5) una volta controllato che il sostegno della curva sia tutto contenuto in $D$, tale integrale è nullo poiché la forma è esatta.
"Rigel":
Allora:
1) il dominio è $D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 3x-y > 0\}$;
2) ok;
3) non mi torna il $-3$; la primitiva mi sembra essere $V(x,y) = \sqrt{3x-y}$;
4) la forma differenziale ammette potenziale, quindi è esatta. In questo caso si poteva concludere che la forma è esatta anche da 2) e dal fatto che $D$ è semplicemente connesso (ma, come ti ho detto, questa è solo una condizione sufficiente, non è una caratterizzazione);
5) una volta controllato che il sostegno della curva sia tutto contenuto in $D$, tale integrale è nullo poiché la forma è esatta.
Guarda non so' come ringraziarti,finalmente ho tutto chiaro,se dovessi passare l'esame domani,ti farò una dedica:),sei stato paziente e gentilissimo.
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