Forma differenziale [analisi 2, da correggere]

[ludwigZero]

questo è il testo:

http://tinypic.com/r/118hyl4/6


ci troviamo in $RR^2 -{0,0}$ non semplicemente connesso ...... però possiamo prendere un insieme $\omega$ restrizione di tale dominio in cui possiamo trovare una curva sche non contiene l'origine.

per la chiusura mi trovo che:

$d/dy F_1 = d/dx F_2 = -e^y /x^2 - e^x /y^2$

dove:

$F_1 = (e^x)/y - (e^y)/x^2$

$F_2 = e^y /x - e^x /y^2$

per la primitiva ragiono cosi:

$U(x,y) = \int F_2 dy = \int (e^y /x - e^x /y^2) dy = 1/x e^y + 1/y e^x + c(x)$

$dU/dx = (e^x)/y - (e^y)/x^2 + c' (x) = (e^x)/y - (e^y)/x^2$

$ c' (x) = 0$ -> $c(x)=cost$

$U(x,y) = 1/x e^y + 1/y e^x + c(x)$

scopro la $c(x)$ facendo il passaggio per il punto $(1,1)$ e viene: $c(x) = 2 e$

confermate \sconfermate? xD

[lordb]

Ciao ecco alcune cose che io avrei fatto:

1) Prima di calcolare la primitiva avrei verificato se la forma differenziale fosse esatta / campo vettoriale associato conservativo. Dunque verificata la chiusura,avrei preso una circonferenza unitaria $gamma$ centrata in $(0,0)$ e avrei verificato che:
$int_gamma omega =0$.

2) Sei sicuro che $U(1,1)=0$ ?

[ludwigZero]

1) $x= \rho cos \theta$ e $y= \rho sin \theta$ ->

$\int e^(\rho cos \theta) /(\rho sin \theta) - e^(\rho sin \theta) / (\rho cos \theta)^2 ) \rho d\rho d\theta+$

$+ (e^(\rho sin \theta) /(\rho cos \theta)) - e^(\rho cos \theta) /(\rho sin \theta)^2 \rho d\rho d\theta$

ti trovi? [non mi è capitato quasi mai di verificare....quindi semmai fosse sbagliato, come doveva essere?]

2) mi chiede di annullare la primitiva in quel punto..ecco perchè l'ho posto uguale a 0, evidentemente non è così xD

[Macellaro]

Il punto 1 devi farlo in modo da passare da due variabili a una sola, è lì la convenienza. Infatti che fai, prendi e cerchi di descrivere la tua curva gamma in funzione di un'unica variabile. In questo caso, data la completa libertà di scelta che hai, scegli una circonferenza con centro in (0,0) e raggio R=1. Quindi, quando fai il passaggio di variabili non devi differenziare il raggio.
Questo metodo mi sembra comunque abbastanza complicato, io, ad esempio, non riesco a risolvere con facilità quell'integrale di linea, mentre trovo molto più semplice l'integrazione su di un quadrato che contenga il punto (0,0) al suo interno. In questo modo si fa subito e il risultato mi dice che l'integrale chiuso intorno al (0,0) non è nullo.

[ludwigZero]

se è più semplice la tua risoluzione, nel senso 'più pulita' potresti farmi l'esempio di un quadrato che contenga il punto $(0,0)$?

tipo andrebbe bene $[-1,1]x[-1,1]$ ?

[lordb]

"ludwigZero":
2) mi chiede di annullare la primitiva in quel punto..ecco perchè l'ho posto uguale a 0, evidentemente non è così xD

Intendevo, sei sicuro che la tua primitiva che hai trovato soddisfi $U(1,1)=0$ ?

[ludwigZero]

$c(x) = - 2 e$

se ovviamente $U(x,y)$ è giusta...

sempre pensando a ciò che mi ha detto l'utente di prima .....

una porzione di piano che contine quel punto potrebbe essere un insieme del tipo:

$-a < x < a$

$-b< y < b$

con $(x,y)$ di $RR^2$

$a$ e $b$ numeri reali....

[Macellaro]

Si. Hai a che fare con un integrale di linea. Quindi ti serve una linea, in questo caso chiusa, e allora prendiamo un bel quadrato di qualsiasi dimensione, anche decentrato rispetto a [tex](0,0)[/tex], che però lo contenga. Dopodichè svolgi l'integrale di linea su questa tua nuova linea e vedi se il risultato è zero oppure no, a me, in particolare non viene zero ed ho usato esattamente il quadrato che delimita la porzione di piano da te proposta.